Multiplicas a toda la ecuación canónica por el producto de los denominadores y el resultado es la multiplicación cruzada y desarrollas, así es en la elipse e hipérbola, en la circunferencia y parábola, solo desarrollas.

ejemplo de lo anterior:

en una Hipérbola horizontal:

(x+5)².(y-1)²

------.-.------.=.1 todo por 36-->4(x+5)²-9(y-1)²=36-->4(x²+10x+25)-9(y²-2y+1)-36=0

...9.......4

-->4x²+40x+100-9y²+18y-9-36=0-->4x²-9y²+40x+18y+55=0

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en la elípse vertical:

(x-3)²..(y+2)²

------.+.------.=.1-->todo por 64-->16(x-3)²+4(y+2)²=64-->16(x²-6x+9)+4(y²+4y+4)-64=0

...4........16

16x²-96x+144+4y²+16y+16-64=0-->16x²+4y²-96x+16y+96=0 si puedes simplificar, simplifica ( todos deben presentar la misma divisibilidad, en este caso, todos tienen cuarta) 4x²+y²-24x-4y+24=0

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circunferencia:

(x+3)²+(y+7)²=25-->x²+6x+9+y²+14y+49-25=0-->x²+y²+6x+14y+33=0

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Parábola vertical que abre hacia abajo (x-4)²=.-6(y-3)²-->x²-8x+16=.-6(y²-6y+9)

x²-8x+16=.-6y²+36y-54-->x²+6y²-8x-36y+16+54=0-->x²+6y²-8x-36y+70=0

Perdona, pero yo creo que la forma general es del tipo: Ax + By + C=0