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∫secx · tgx dx= ∫ senx/cos²x dx = -1/cosx + C = - secx + C

Saludos

Hola la demostración se basa en la fundamental de la cosecante... int( sec(x) dx) = int (dx/cos(x)) x = u - pi/2 int( sec(x) dx) = int (du/sen(u)) Ahora, usamos el ángulo mitad int( sec(x) dx) = int (du/(2 sen(u/2) cos(u/2)) Extraemos el coeficiente 2 afuera y lo ponemos en la diferencial multiplicamos y dividimos por cos(u/2) int( sec(x) dx) = int (d(u/2) tan(u/2) cos^2(u/2)) recordamos que d(tan(w)) = dw/cos^2(w) int( sec(x) dx) = int (d(tan(u/2)) tan(u/2)) recordamos el logaritmo int( sec(x) dx) = int (d(ln(tan(u/2))) Ahora, la fundamental es inmediata int( sec(x) dx) = ln(tan(u/2) + K1 sustituimos u = (pi2) + x int( sec(x) dx) = ln(tan((pi/4) + (x/2)) + K1 =================================== Esta es la fundamental vital, veamos equivalencias tan((pi/4) + (x/2) = (a million + tan(x/2))/(a million - tan(x/2)) tan((pi/4) + (x/2) = (cos(x/2) + sen(x/2))/(cos(x/2) - sen(x/2)) Multiplicamos arriba y abajo por (cos(x/2) + sen(x/2)) y aplicamos diferencia de cuadrados. tan((pi/4) + (x/2) = (cos(x/2) + sen(x/2))^2 /(cos^2(x/2) - sen^2(x/2)) tan((pi/4) + (x/2) = (a million + 2 cos(x/2) sen(x/2)) /(cos^2(x/2) - sen^2(x/2)) Definiciones de ángulo doble. tan((pi/4) + (x/2) = (a million + sen(x)) /(cos(x)) tan((pi/4) + (x/2) = sec(x) + tan(x) Nos queda (¿obvio?) int( sec(x) dx) = ln(sec(x) + tan(x)) + K1 ================================= Espero te haya gustado... Saludos

Sec * Tan = sen/cos^2