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Sea:

V = Volumen del paralelepípedo

S = Suma de sus tres lados

A, B, C = Cada uno de los lados del paralelepípedo

m = B/A = relación entre la longitud de “B” y la longitud de “A”

n = C/A = relación entre la longitud de “C” y la longitud de “A”

Partiremos de:

1) S = A+B+C

2) V = A*B*C

Para que todo quede expresado en función de un solo lado, reemplazaremos “B” y “C” por las relaciones definidas al comienzo:

3) S = A + m*A + n*A

4) V = A * m*A * m*A

O lo que es lo mimo:

5) S = A*(1 + m + n)

6) V = A^3 * m * n

En primer lugar, buscaremos la relación entre “B” y ”C” que nos arroje el volumen máximo, dado un lado “A” que por ahora tomamos como constante y que tiene cualquier valor menor que S.

Como vamos a necesitar operar con la ecuación 6), nos conviene expresarla de otra manera, para facilitar lo que seguirá. Para ello tendremos en cuenta que como S es fijo, y por ahora hemos considerado que A tiene un valor cualquiera menor que S, también fijo, las variables “m” y “n” están relacionadas entre sí según la fórmula 5):

S = A*(1 + m + n)

S/A = 1 + m + n

7) n = S/A – m - 1

La relación de la fórmula 7) nos dice que, siendo S dato del problema, elegido un valor cualquiera para el lado “A”, siempre que sea:

A < S

los otros 2 lados podrán variar, a condición de mantener entre sí una relación que permita que S no varíe.

Reemplazando 7) en 6):

V = A^3 * m * (S/A – m - 1)

8) V = m*S*A^2 – m^2*A^3 – m*A^3

La expresión 8) nos permitirá encontrar el valor de “m” que maximiza el volumen. Para ello calculamos:

9) dV/dm = S*A^2 – 2*m*A^3 – A^3

igualando a cero:

S*A^2 – 2*m*A^3 – A^3 = 0

Simplificando:

S – 2*m*A – A = 0

Despejando m:

m = (S – A) / 2*A

10) m = S/(2*A) – 1/2

Calculamos la segunda derivada:

dV^2/dm^2 = – 2*A^3

Como siempre es negativa, se trata de un máximo.

Reemplazando 10) en 7), podemos ahora calcular el valor de n:

n = S/A – m – 1

n = S/A – S/(2*A) + 1/2 – 1

11) n = S/(2*A) – 1/2

Comparando 10) y 11), podemos comprobar que:

m = n

Como m = B/A y n = C/A. Resulta:

B = C

Esto significa que:

a) Dado un valor de S como dato

b) Elegido un valor arbitrario y fijo de A < S

c) El volumen máximo se obtiene cuando B = C

Ya sabemos que dos de los lados del paralelepípedo deben ser iguales entre sí. Pero aún nos falta averiguar cuanto debe valer el tercero en relación a ellos para maximizar el volumen. Dicho en otras palabras, hasta aquí sólo se ha demostrado que la base debe ser cuadrada y falta ver cuanto debe valer la altura con relación a los lados de la base.

Justamente esto es lo que trataremos de resolver con un segundo razonamiento.

Ahora ya podemos escribir nuestras ecuaciones así:

12) S = A + 2*B --> B = S - A / 2

13) V = A * B^2

Reemplazando 12) en 13):

V = A * (S - A / 2)^2

Operando:

V = A * (S^2 – 2*S*A + A^2) / 4

V = (A*S^2)/4 – (S*A^2)/2 + (A^3)/4

Derivamos para encontrar el máximo:

dV/dA = (S^2)/4 – (S*A) + (3*A^2)/4

Igualando a cero:

(S^2)/4 – (S*A) + (3*A^2)/4 = 0

Operando:

S^2 – 4*S*A + 3*A^2 = 0

Reordenando:

3*A^2 – 4*S*A + S^2 = 0

resolviendo la ecuación cuadrática:

A = ( 4*S +- (16*S^2 – 12*S^2)^1/2 ) / 6

A = ( 4*S +- (4*S^2)^1/2 ) / 6

A = ( 4*S +- 2*S ) / 6

Resulta:

A1 = S

A2 = S/3

La raíz S1 no tiene sentido para este problema, ya que si A=S, resulta B=0 y C=0, y no hay paralelepípedo. Por lo tanto la solución es:

A = S/3

Como antes habíamos demostrado que:

B = C

La ecuación 1) puede escribirse:

S = S/3 + B + B

De donde resulta:

B = S/3

Y por lo tanto:

C = S/3

Faltaría calcular la segunda derivada para asegurarse de que se trata de un máximo:

dV^2/dA^2 = – S + 3*A/2

Para:

A = S/3

Resulta:

dV^2/dA^2 = – S + S/2

dV^2/dA^2 = – S/2

Es negativa por lo que se trata de un máximo.

Queda así demostrado, que el paralelipípedo rectángulo de máximo volumen, si la suma de sus tres lados es un valor dado, es un cubo.

a, b y c son las dimensiones del paralelepipedo. El volumen es (ab)c = área de la base x altura.

El área de la base se máxima cuando la base se un cuadrado para el mismo perímetro de la misma, o sea, para la misma suma de a+b. Con este criterio, el paralelepípedo debería ser un cubo, como dice la primer respuesta.

Así que voy a suponer a tiene que ser igual a b y que c desconocido, de tal manera que el volumen sea máximo.

Aclaro que no estoy segura, pero me da la impresión de que debe de ser así. La opción es trabajar con 2 variables, lo cual me parece mucho mas complicado, si es que se puede resolver por ese lado.

a+b+c = k = 2a+c (k es dato y a=b).

Área = abc = a^2 c

Área = a^2(k-2a). k es fijo, un numero. a y variable.

A partir de aquí yo derivaría y vería cual es el a que me da área máxima.

Área = 2ak - 6a^2, lo que da una primer raíz a = 0, que no tiene sentido geométrico

La otra es a = k/3

El signo de la derivada es

.. - . 0 + 0 -

------|-----|----->

..... 0 ....k/3

O sea que, entre 0 y k/3 el area crece y luego decrece, obteniendose un valor maximo en k/3

Como k = 2a+c y c es k/3, entonces hemos llegado a la conclusion de que sí, el paralelepípedo debe de ser un cubo.

Suerte

Ana

Para que sea de máximo volumen, debe ser un cubo, es decir que el largo de la base es igual al ancho y a la altura. por lo tanto si tenemos la suma de sus tres dimensiones, simplemente las dividimos por tres y tendremos la arista del cubo a la que llamaré "a". Su volúmen será por lo tanto a^3

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