Dos puntos determinan una recta. Si esos puntos son extremos de vectores (linealmente independientes), podríamos generalizar diciendo que dos vectores determinan una recta. La diferencia entre ambos vectores nos daría un vector colineal con esa recta, vector dirección o pendiente de la recta.
Sean dos vectores w = (2, 3) y v = (5, 2) determinan una recta cuya pendiente es m, de manera que m = w - v = (- 3, 1). De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como: L = t(- 3, 1) + (5, 2). El vector que suma al vector pendiente puede ser cualquier vector perteneciente a la recta. Designamos como "t" a un escalar de manera que cualquier vector perteneciente a esta recta se obtiene al dar distintos valores a t.
(x , y) = t (- 3, 1) + (5, 2) Llamada ecuación paramétrica de la recta.
Definición: Dado en Rn un vector m no nulo (m ¹ 0) y un punto v, la ecuación vectorial de la recta que pasa por v en la dirección m es: L = t.m + v (para t Î R).
Sólo para R2 tenemos que:
En el caso de los sistemas en R2 la ecuación paramétrica (x, y) = t.m + v puede escribirse como ax + by = c. En cambio para sistemas de Rn donde n > 2 no alcanza con una ecuación lineal.
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Siempre que hablemos de sistemas en R2 o en R3 , dos rectas son paralelas si sus direcciones son paralelas (si un vector dirección es combinación lineal del otro). Evidentemente si los vectores dirección fueran perpendiculares entre sí, las rectas también lo serían. ¿Cómo determinamos que dos vectores sean perpendiculares?. El producto escalar de ambos deben dar cero (cos 90º = 0).
Plano en R3
Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. Si en vez de la recta tomamos un vector dirección, vector N, y un punto p de R3 podemos escribir la ecuación del plano P que pasa por P y es perpendicular a N como: P : (Q - P) . N = 0
El plano es el conjunto de puntos Q tales que Q - P sea perpendicular a N. Un vector perpendicular a otro se denomina vector normal, así se lo denomina a N.
Si Q = (x, y, z) y N = (a, b, c) la ecuación resulta P : ax +by +cz = d donde d = P . N
Dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son.
Distancia de un punto y un plano
Q es un punto exterior a un plano P cuya normal es N, definimos como la distancia de Q al plano como la distancia entre Q y P, d(PQ), donde P en un punto del plano. P debe pertenecer a la recta perpendicular al plano que pasa por Q (la distancia más corta es la perpendicular).
En R3 si Q = (xo, yo, zo) y P: ax + by + cz = d, entonces la distancia puede escribirse como:
Ecuación Paramétrica de la Recta
Una recta queda perfectamente determinada si:
• Se conoce un punto y su dirección.
• Se conocen dos puntos de ella.
Ecuación paramétrica de la recta conocido un punto y su dirección.
Una dirección en el plano está determinada por un punto (a, b) cuyas coordenadas a y b no se anulan simultáneamente, Sea el punto P( dado en la recta y sea Q(x, y) un punto genérico sobre ésta. Queremos encontrar las condiciones que deben cumplir las coordenadas x e y.
Suponiendo que Q pertenece a la recta, el segmento dirigido PQ que une a los puntos P y Q determina una dirección con coordenadas ( que es paralela a la dirección (a, b), luego existe un número real t tal que
A este par de ecuaciones se les llama las ecuaciones paramétricas de la recta. Dando valores a t, llamado parámetro, se pueden obtener tantos puntos de la recta como se desee.
Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos dos puntos.
Si se conocen dos puntos de la recta P(, ) y Q(, ), es claro que el segmento dirigido PQ determina una dirección con coordenadas (,). Por lo tanto el problema se reduce a encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y tiene dirección dada por (,). Si R(x, y) es un punto genérico de la recta que pasa por los puntos P y Q, entonces según la ecuación anterior
En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una curva en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
es una ecuacion en la que las incognitas estan puestas en funcion de unos parametros, dando valores a dichos parametros optendremos los infintias soluciones particulares de la ecuacion
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Ecuación paramétrica
Recta y Plano Vectorial
Dos puntos determinan una recta. Si esos puntos son extremos de vectores (linealmente independientes), podríamos generalizar diciendo que dos vectores determinan una recta. La diferencia entre ambos vectores nos daría un vector colineal con esa recta, vector dirección o pendiente de la recta.
Sean dos vectores w = (2, 3) y v = (5, 2) determinan una recta cuya pendiente es m, de manera que m = w - v = (- 3, 1). De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como: L = t(- 3, 1) + (5, 2). El vector que suma al vector pendiente puede ser cualquier vector perteneciente a la recta. Designamos como "t" a un escalar de manera que cualquier vector perteneciente a esta recta se obtiene al dar distintos valores a t.
(x , y) = t (- 3, 1) + (5, 2) Llamada ecuación paramétrica de la recta.
Definición: Dado en Rn un vector m no nulo (m ¹ 0) y un punto v, la ecuación vectorial de la recta que pasa por v en la dirección m es: L = t.m + v (para t Î R).
Sólo para R2 tenemos que:
En el caso de los sistemas en R2 la ecuación paramétrica (x, y) = t.m + v puede escribirse como ax + by = c. En cambio para sistemas de Rn donde n > 2 no alcanza con una ecuación lineal.
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Siempre que hablemos de sistemas en R2 o en R3 , dos rectas son paralelas si sus direcciones son paralelas (si un vector dirección es combinación lineal del otro). Evidentemente si los vectores dirección fueran perpendiculares entre sí, las rectas también lo serían. ¿Cómo determinamos que dos vectores sean perpendiculares?. El producto escalar de ambos deben dar cero (cos 90º = 0).
Plano en R3
Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. Si en vez de la recta tomamos un vector dirección, vector N, y un punto p de R3 podemos escribir la ecuación del plano P que pasa por P y es perpendicular a N como: P : (Q - P) . N = 0
El plano es el conjunto de puntos Q tales que Q - P sea perpendicular a N. Un vector perpendicular a otro se denomina vector normal, así se lo denomina a N.
Si Q = (x, y, z) y N = (a, b, c) la ecuación resulta P : ax +by +cz = d donde d = P . N
Dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son.
Distancia de un punto y un plano
Q es un punto exterior a un plano P cuya normal es N, definimos como la distancia de Q al plano como la distancia entre Q y P, d(PQ), donde P en un punto del plano. P debe pertenecer a la recta perpendicular al plano que pasa por Q (la distancia más corta es la perpendicular).
En R3 si Q = (xo, yo, zo) y P: ax + by + cz = d, entonces la distancia puede escribirse como:
Ecuación Paramétrica de la Recta
Una recta queda perfectamente determinada si:
• Se conoce un punto y su dirección.
• Se conocen dos puntos de ella.
Ecuación paramétrica de la recta conocido un punto y su dirección.
Una dirección en el plano está determinada por un punto (a, b) cuyas coordenadas a y b no se anulan simultáneamente, Sea el punto P( dado en la recta y sea Q(x, y) un punto genérico sobre ésta. Queremos encontrar las condiciones que deben cumplir las coordenadas x e y.
Suponiendo que Q pertenece a la recta, el segmento dirigido PQ que une a los puntos P y Q determina una dirección con coordenadas ( que es paralela a la dirección (a, b), luego existe un número real t tal que
A este par de ecuaciones se les llama las ecuaciones paramétricas de la recta. Dando valores a t, llamado parámetro, se pueden obtener tantos puntos de la recta como se desee.
Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos dos puntos.
Si se conocen dos puntos de la recta P(, ) y Q(, ), es claro que el segmento dirigido PQ determina una dirección con coordenadas (,). Por lo tanto el problema se reduce a encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y tiene dirección dada por (,). Si R(x, y) es un punto genérico de la recta que pasa por los puntos P y Q, entonces según la ecuación anterior
aaa
En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una curva en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
es una ecuacion en la que las incognitas estan puestas en funcion de unos parametros, dando valores a dichos parametros optendremos los infintias soluciones particulares de la ecuacion
no se