Una isoclina es una curva compuesta por los puntos, de los elementos de una familia de curvas, en donde las tangentes tienen la misma inclinación (la misma pendiente).
Por ejemplo, la curva compuesta por los puntos en donde las tangentes tienen pendiente m = -2/3, la obtenemos al asignar este valor a la derivada (pendiente de la tangente)
- 2/3 = -x/y => y = 3/2 x
En el siguiente ejemplo se aprecia esta isoclina, que une los puntos donde las tangentes a las curvas tienen la misma pendiente -2/3. Esta pendiente se aprecia en la tangente a una de las curvas solución (circunferencias).
Cuando se intenta resolver una ecuación diferencial, no necesariamente se debe esperar que tenga una solución y, aún teniéndola, no siempre se puede encontrar una fórmula explícita, en términos de funciones elementales, que satisfaga la ecuación. En algunas ocasiones, particularmente en el estudio de ecuaciones no lineales, habrá que conformarse con obtener solo aproximaciones a una solución.
El concepto de isoclina puede ser útil para darnos una idea geométrica de las soluciones. Si graficamos varias isoclinas, y en ellas un número suficiente de elementos lineales (pedacitos de tangentes), es posible apreciar el campo de direcciones. Al total de elementos lineales se le llama campo de direcciones de la ecuación diferencial, el cual indica el “flujo” de la familia de curvas integrales de la ecuación diferencial. Con esto es posible bosquejar algunas posibles curvas solución.
Para esto, primero obtenemos la ecuación de la familia de isoclinas denotando a la derivada por su otra interpretación de pendiente (m) de la tangente. En nuestro ejemplo
dy/dx = - x/y
tenemos que
m = - x/y
de donde
y = - 1/m x
es la ecuación de las isoclinas. En este caso son rectas que pasan por el origen. En la figura anterior, se aprecia una de ellas, la recta
y = 3/2 x
compuesta por los puntos donde las tangentes tienen pendiente m = -2/3.
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Una isoclina es una curva compuesta por los puntos, de los elementos de una familia de curvas, en donde las tangentes tienen la misma inclinación (la misma pendiente).
Por ejemplo, la curva compuesta por los puntos en donde las tangentes tienen pendiente m = -2/3, la obtenemos al asignar este valor a la derivada (pendiente de la tangente)
- 2/3 = -x/y => y = 3/2 x
En el siguiente ejemplo se aprecia esta isoclina, que une los puntos donde las tangentes a las curvas tienen la misma pendiente -2/3. Esta pendiente se aprecia en la tangente a una de las curvas solución (circunferencias).
Cuando se intenta resolver una ecuación diferencial, no necesariamente se debe esperar que tenga una solución y, aún teniéndola, no siempre se puede encontrar una fórmula explícita, en términos de funciones elementales, que satisfaga la ecuación. En algunas ocasiones, particularmente en el estudio de ecuaciones no lineales, habrá que conformarse con obtener solo aproximaciones a una solución.
El concepto de isoclina puede ser útil para darnos una idea geométrica de las soluciones. Si graficamos varias isoclinas, y en ellas un número suficiente de elementos lineales (pedacitos de tangentes), es posible apreciar el campo de direcciones. Al total de elementos lineales se le llama campo de direcciones de la ecuación diferencial, el cual indica el “flujo” de la familia de curvas integrales de la ecuación diferencial. Con esto es posible bosquejar algunas posibles curvas solución.
Para esto, primero obtenemos la ecuación de la familia de isoclinas denotando a la derivada por su otra interpretación de pendiente (m) de la tangente. En nuestro ejemplo
dy/dx = - x/y
tenemos que
m = - x/y
de donde
y = - 1/m x
es la ecuación de las isoclinas. En este caso son rectas que pasan por el origen. En la figura anterior, se aprecia una de ellas, la recta
y = 3/2 x
compuesta por los puntos donde las tangentes tienen pendiente m = -2/3.