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a)log5 (125.625)

log5 5³.5^4

log5 5^(3+4)

log5 5^(7) = ( 7)

b)log2 16.V8

log2 2^4. V2³

log2 2^4.2³/²

log2 2^(4 +3/2)

log2 2^(11/2) = (11/2)

c)log3 81V3 / V3³

log3 81.3¹/² / 3³/2

log3 3^4.3¹/² / 3³/²

log3 3^(4 +1/2) / 3³/²

log3 3^(9/2) / 3³/²

log3 3^(9/2 - 3/2)

log3 3^(6/2)

log3 3(³) = (3)

d)log2V2 1/32 = x

(2V2)^x = 1/32

2^x.V2^x = 1/2^5

2^x.2^x/2 = 2^-5

2^(x +x/2) = 2^-5

2^(3x/2) = 2^-5

(3x/2) = -5

3x = -10

x = -10/3

Vamos lá.

Veja, Bianca, vamos igualar cada expressão logarítmica a um certo "x" e depois tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. Assim, teremos:

a)

x = log₅ (125*625) ------ note que log (a*b) = log(a) + log(b). Logo:

x = log₅ (125) + log₅ (625) ---- veja que 125 = 5³; e 625 = 5⁴. Assim:

x = log₅ (5³) + log₅ (5⁴) ---- como os expoentes passam multiplicando, temos:

x = 3*log₅ (5) + 4*log₅ (5) ------ como log₅ (5) = 1, então ficaremos:

x = 3*1 + 4*1

x = 3 + 4

x = 7 <---- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b)

x = log₂ (16*√8) ----- como log(a*b) = log(a) + log(b), então ficaremos:

x = log₂ (16) + log₂ (√8) ----- veja que √8 = 8¹/². Assim:

x = log₂ (16) + log₂ (8¹/²) --- note que 16 = 2⁴; e 8 = 2³. Assim:

x = log₂ (2⁴) + log₂ (2³)¹/²

x = log₂ (2⁴) + log₂ (2³/²) ----- passando os expoentes multiplicando, temos:

x = 4*log₂ (2) + (3/2)*log₂ (2) ------ como log₂ (2) = 1, teremos:

x = 4*1 + (3/2)*1 --- ou apenas:

x = 4 + 3/2 ------ mmc = 2. Assim, ficaremos com:

x = (2*4 + 1*3)/2

x = (8 + 3)/2

x = (11)/2

x = 11/2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c)

x = log₃ [81*√3 / (√3)³] ---- dividindo-se, no logaritmando, numerador e denominador por √3, ficaremos apenas com:

x = log₃ [81*1/√3²] ----- ou apenas:

x = log₃ [81/√3²]------ como √3² = √9 e √9 é igual a "3", teremos:

x = log₃ (81/3) ---- veja que log (a/b) = log(a) - log(b). Assim:

x = log₃ (81) - log₃ (3) ------ veja que 81 = 3⁴ . Assim:

x = log₃ (3⁴) - log₃ (3) ---- passando o expoente multiplicando, teremos:

x = 4*log₃ (3) - log₃ (3) ------ como log₃ (3) = 1, ficaremos com:

x = 4*1 - 1

x = 4 - 1

x = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

d)

x = LOG (1/32) ---- como log (a/b) = log(a) - log(b), ficaremos com:

.......2√2

x = LOG (1) - LOG (32)

.......2√2...........2√2

Agora veja: como log (1), em qualquer base, é igual a zero, então ficamos:

x = 0 - LOG (32) --- ou apenas:

............2√2

x = - LOG (32) ----- veja que isto é a mesma coisa que:

.........2√2

x = -1*LOG (32) ------ passando o "-1" para expoente, teremos:

...........2√2

x = LOG(32⁻¹ ) ---- ou, o que é dá no mesmo:

......2√2

LOG (32⁻¹) = x ----- agora note que isto é a mesma coisa que:

2√2

(2√2)˟ = 32⁻¹

Veja que √2 = 2¹/². Assim, ficaremos com:

(2*2¹/²)˟ = 32⁻¹

Note que 2*2¹/² = 2¹⁺¹/² = 2³/² . Assim, ficaremos com:

(2³/²)˟ = 32⁻¹ ------ veja que 32 = 2⁵ . Assim:

(2³/²)˟ = (2⁵)⁻¹ ----- desenvolvendo, ficaremos com:

2³˟/² = 2⁻⁵ ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

3x/2 = - 5 ----- multiplicando em cruz, ficaremos com:

3x = 2*(-5)

3x = - 10

x = - 10/3 <---- Esta é a resposta para a questão do item "d".

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

a)log 5 (125.625) = log 5 (125) + log 5 (625) >>>>>>log (a.b ) = log a + log b

log 5 (5)³ + log 5 (5)^4 = 3. log 5 5 + 4. log 5 (5) >>>>>>log a^b = b log a e log a a = 1

Portanto

3.1 + 4.1 = 3 + 4 = 7

R: log 5 (125.625) = 7<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

b) log 2 16raizde8 = log 2 16 + log 2 8^1/2 = log 2 2^4 + log 2 2^3/2 = >>>>>idem ao anterior referente propriedades

4. log 2 2 + 3/2 log 2 2 = 4.1 + 1. 3/2 = 4 + 3/2 = 11/2>>>>>>>mmc (1,2) = 2

R: log 2 16. raiz de 8 = 11/2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

c)log3 81 raiz de3 /raiz de 3 elevado a 3

(log 3 3^4 + log 3^1/2)(log 3^3/2) ===== propriedades dos expoentes que passam multiplicando os log e soma dos log = produto dos log

Dai (4 log 3 3 + 1/2 log 3 3 )/(3/2 log 3 3)>>>>>>>>>>>>>>>>>log a a = 1

(4 .1 + 1/2.1 )/(3/2.1) = (4 + 1/2)/(3/2)>>>>>>>>mmc (1,2) = 2

(9/2)/(3/2) =======>>>>> multiplico a 1 pelo inverso da 2

(9/2) x (2/3) = 18/6 = 3<<<<<<<<<<<

Resposta: log 3 81 raiz de 3 /raiz de 3 elevado a 3 = 3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

d)log 2 raiz de 2 1/32 = log 2 2^1/2 + log 2 1/2^5 =>>>>>>>>32 = 2^5 e log a. b = log a + log b e ainda

1/2^5 = 2^-5

1/2 log 2 2 + log 2 2^-5 = 1/2.1 + (-5).log 2 2 = 1/2 - 5.1 = 1/2 -5 = (1 -10)/2 = -9/2 = -4,5

Resposta: log 2 raiz de 2 1/32 = -9/2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Bianca espero ter ajudado!

Bons estudos!

Muito Obrigado