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Llamemos I a la integral buscada, entonces:

I = int e^x * sen(2x)dx

Cambio de variable para resolver por partes:

u=sen(2x) => du = 2cos(2x)dx

dv=e^x dx => v = e^x

y como int u*dv = u*v - int v*du tenemos:

I = e^x*sen(2x) - int 2e^x * cos(2x)dx = e^x*sen(2x) -2*int e^x *cos(2x)dx

La integral que nos queda la resolvemos de nuevo por partes:

u = cos(2x) => du = -2sen(2x)dx

dv = e^x dx => v = e^x

Entonces tenemos:

int e^x *cos(2x) = e^x*cos(2x) - int e^x*(-2sen(2x))dx = e^x*cos(2x)+2*int e^x*sen(2x) = e^x*cos(2x) + 2*I

Sustituyendo int e^x *cos(2x) en la ec. inicial:

I = e^x*sen(2x) -2*int 2e^x *cos(2x)dx = e^x*sen(2x) -2*(e^x*cos(2x) + 2*I) = e^x*[sen(2x)-2*cos(2x)] - 4*I

Despejando I:

5*I = e^x*[sen(2x)-2*cos(2x)]

Por tanto, la integral buscada es:

I = int e^x * sen(2x)dx = e^x*[sen(2x)-2*cos(2x)]/5 + C

Saludos

mira DX de una multiplicacion es el primero(e^x) x dx del segundo (sen2x) +el segundo (sen2x) por la dx del primero(e^x)

dx(e^x sen2x)

=e^x (-cos2x)(2) + (sen2x)(e^x)(1)

= -2e^x(cos 2x) + e^x(sen2x)

=e^x ( -2cos2x + sen 2x)

espero haberte ayudado