Observa que si log2(3) fuese racional entonces para algunos a y b enteros podríamos escribir:
log2(3) = a/b, pero entonces
2^(log2(3)) = 2^(a/b) = 3,
donde se uso la propiedad del logaritmo.
Eleva ambos lados de la expresión a la potencia b, asi
2^a = 3^b
Sin embargo como suponemos que a y b son distintos de cero entonces el lado izquierdo es claramente un numero par, mientras que el lado derecho es un numero impar (por que no tiene factores de 2 en su descomposición en primos). Entonces tenemos una contradicción y por lo tanto es falso que log2(3) sea racional.
P.S.: Edith, querrás checar tu interpretación de números irracionales ya que si usaras su expresión decimal para hacer la "demostración" que hiciste debes asegurarte que no hay periodicidad de la misma a todos los ordenes, es decir deberías asegurarte hasta el infinito, lo cual no es posible. Intenta no confundir o dar respuestas erróneas a los que preguntan.
Por contradicción supongamos que Log(base2) 3 es un número racional. Entonces Log(base2)3 puede ser expresado como el cociente de dos números enteros (numerador entero y denominador natural)
Log(base2)3 = p/q , elevo 2 a lo que está a lado y lado del igual.
2^{log(base2)3} = 2^{p/q}
3 = 2^{p/q}
elevando cada mienmbro de la igualdad a la q obtengo
3^{q} = 2^{p}
Primer caso: si p es un número natural, entonces el número 2^{p} es par.
Pero ninguna portencia natural de 3 ( q es natural como dije arriba) es par, por lo tanto es absurdo que 3^{q} = 2^{p}.
De esta manera, que da demostrado que Log(base2) 3 es un número irracional.
Segundo caso: Si p no es natural, entonces el número 2^{p} es una fracción con denominador par.
`
Pero ninguna potencia natural de 3 es fraccionario con denominador par, por lo tanto es absurdo que 3^{q} = 2^{p}.
De esta nanera queda demostrado que Log(base2) 3 es un número irracional.
Este resultado expresado, que está expresado en forma decimal, tiene infinitas cifras no periódicas. Por lo tanto no se lo puede escribir como razón o fracción. Por lo tanto es IRRACIONAL.
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Observa que si log2(3) fuese racional entonces para algunos a y b enteros podríamos escribir:
log2(3) = a/b, pero entonces
2^(log2(3)) = 2^(a/b) = 3,
donde se uso la propiedad del logaritmo.
Eleva ambos lados de la expresión a la potencia b, asi
2^a = 3^b
Sin embargo como suponemos que a y b son distintos de cero entonces el lado izquierdo es claramente un numero par, mientras que el lado derecho es un numero impar (por que no tiene factores de 2 en su descomposición en primos). Entonces tenemos una contradicción y por lo tanto es falso que log2(3) sea racional.
P.S.: Edith, querrás checar tu interpretación de números irracionales ya que si usaras su expresión decimal para hacer la "demostración" que hiciste debes asegurarte que no hay periodicidad de la misma a todos los ordenes, es decir deberías asegurarte hasta el infinito, lo cual no es posible. Intenta no confundir o dar respuestas erróneas a los que preguntan.
Por contradicción supongamos que Log(base2) 3 es un número racional. Entonces Log(base2)3 puede ser expresado como el cociente de dos números enteros (numerador entero y denominador natural)
Log(base2)3 = p/q , elevo 2 a lo que está a lado y lado del igual.
2^{log(base2)3} = 2^{p/q}
3 = 2^{p/q}
elevando cada mienmbro de la igualdad a la q obtengo
3^{q} = 2^{p}
Primer caso: si p es un número natural, entonces el número 2^{p} es par.
Pero ninguna portencia natural de 3 ( q es natural como dije arriba) es par, por lo tanto es absurdo que 3^{q} = 2^{p}.
De esta manera, que da demostrado que Log(base2) 3 es un número irracional.
Segundo caso: Si p no es natural, entonces el número 2^{p} es una fracción con denominador par.
`
Pero ninguna potencia natural de 3 es fraccionario con denominador par, por lo tanto es absurdo que 3^{q} = 2^{p}.
De esta nanera queda demostrado que Log(base2) 3 es un número irracional.
log en base 2 de 3=1,584962501..
Este resultado expresado, que está expresado en forma decimal, tiene infinitas cifras no periódicas. Por lo tanto no se lo puede escribir como razón o fracción. Por lo tanto es IRRACIONAL.