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HOLA!

Hallar los ceros racionales del siguiente polinomio:

P(x) = x^7 - x^6 + x^5 - x^3 + x^2 – x

Entonces trabajaremos con la ecuación polinómica

x^7 - x^6 + x^5 - x^3 + x^2 – x = 0

En primer lugar, puedes ver que se puede extraer factor común x:

x.(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x – 1) = 0

Con lo cual x = 0 es un cero del polinomio P(x)

Ahora hallamos los ceros de:

P1(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x – 1

Un teorema del álgebra dice que si tienes un polinomio con coeficientes enteros, los posibles ceros racionales de dicho polinomio son del tipo p/q, donde p es un divisor del término independiente y q es un divisor del coeficiente principal.

En este caso tenemos que:

Los divisores (p) de a0 = -1 (termino independiente) son: -1, +1

Los divisores (q) de an = 1 (coef del término principal) son: -1, +1

Hallamos las posibles raíces racionales de la ecuación son: -1 y +1, por Teorema del Resto podrás determinar que ambas son raíces. Ahora si aplicas la división sintética (Regla de Ruffini) para reducir grado a la ecuación, quedandote:

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x – 1 = (x-1).(x+1).( x^4-x^3+2*x^2-x+1)

Entonces: P(x) = x^7 - x^6 + x^5 - x^3 + x^2 – x = x.(x-1).(x+1).(x^4-x^3+2*x^2-x+1)

El último factor (x^4-x^3+2*x^2-x+1) puedes resolverlo como una ecuación reciproca, y obtendrás que los otros ceros son:

i

-i

1/2+1/2.i.√3

1/2-1/2.i.√3

donde i es la unidad imaginaria.

Espero que te ayude. Cualquier cosa me consultas. Saludos.-