¿Cual es la integral del logaritmo de un valor absoluto?
Saludos gente tengo un problema, necesito encontrar la integral de L|x-1|, y la verdad no se como encarar el ejercicio.
Se me ocurrio hacerlo por el metodo de sustitucion y hacer la integral de L|u| donde u = x-1.
Pero.. sigo con el mismo problema, no se hayar el integral de un logaritmo, ni el de un valor absoluto. En las tablas de primitivas no están.
Si alguien conoce como solucionar esto, se agradece compartir :D
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En lugar de ponerte solo la solución (que no creo que sea lo único que buscas) vamos a intentar resolverlo, así lo entenderás, ya que lejos de tener una solución final lo más importante y primordial es el entender las cosas.
Veamos, la integral se puede resolver directamente por partes :
∫ ln(x-1).dx
Para hacerlo, recuerda que la fórmula es :
∫u.v' = ∫ ln(x-1).dx = u.v - ∫v.u'
La clave viene aquí:
llamaremos a u = ln (x-1) , mientras que v' será v' = 1
Fíjate que no puede ser de otra forma, ya que si llamamos v' = ln(x-1) entonces
deberíamos conocer v, que es precisamente lo que buscamos.
Así pues :
u = ln(x-1) -> u' = 1/(x-1)
v' = 1 -> v = ∫1.dx = x
Recordando :
∫ ln(x-1).dx = u.v - ∫v.u'
Luego :
u.v - ∫v.u' = x.ln(x-1) - ∫ x/(x-1).dx
Tenemos una integral racional, que podemos descomponer en fracciones simples :
x / (x-1) = 1 + 1/(x-1)
Luego :
∫x/(x-1).dx = ∫1.dx + ∫1/(x-1).dx
Y estas dos integrales sí son inmediatas :
∫1.dx + ∫1/(x-1).dx = x + ln(x-1)
Luego retomando :
x.ln(x-1) - ∫ x/(x-1).dx = x.ln(x-1) - (x + ln(x-1) = ln(x-1).(x-1) - x
Luego, finalmente :
∫ ln(x-1).dx = ln(x-1).(x-1) - x + K (constante de integración)
Por otro lado, podemos comprobar fácilmente que el resultado final es correcto,
para ello derivamos :
[ln(x-1).(x-1) - x] ' = (x-1)/(x-1) + ln(x-1) - 1 = 1 + ln(x-1) - 1 = ln(x-1)
Que es la función inicial, tal y como era de esperar -> OK
___________
Nota :
Comentabas el hacer un cambio de variable, bien, pues esto siempre se puede hacer siempre que sea factible.
En este caso, lo que propones es :
t = x- 1
(He puesto (t) en lugar de (u) como tú lo has puesto para evitar la confusión con la fórmula de la integral por partes donde aparece la (u) )
Así pues :
Si :
t = x-1 -> ln(x-1) = ln(t)
Por lo tanto, en términos de (t) :
dx = dt
Así pues :
∫ln(x-1).dx = ∫ln(u).du
Y aquí volvemos a tener una expresión general de la forma ln(x), donde volvemos a desarrollar el mismo procedimiento que antes, siendo en este caso :
u= ln(t)-> u' = 1/t
v' = 1 -> v = t
u.v - ∫v.u' = t.ln(t) - ∫t/t.dt = t.ln(t) - ∫dt = t.ln(t) - t ->
∫ln(t).dt = t.(ln(t) - 1)
Deshaciendo el cambio de variable :
∫ln(t).dt = t.(ln(t) - 1)
∫ln(x-1).dx = (x-1).(ln(x-1) - 1) + K
Expresión diferente de la obtenida de la primera forma, pero que en principio deben ser equivalentes, de no ser así (espero que no) en alguno de los dos procedimiento habrá un error.
Una forma de comprobar si esta expresión es equivalente a la obtenida en el primer procedimiento es comprobar si efectivamente la derivada también se corresponde a la función inicial (ln(x-1))
Así pues vamos a verlo :
[(x-1).(ln(x-1) - 1)] ' = (1).(ln(x-1) - 1) + (x-1)/(x-1) - 0 = ln (x-1) - 1 + 1 = ln(x-1)
Y efectivamente volvemos a obtener la función inicial -> OK -> Son expresiones equivalentes
Saludos
JAVI.
Hola
Recordando
Resolvemos la integral por parte: ∫u.dv = uv - ∫v.du (1)
∫du = u + C (2)
..du
∫----- = LnIuI + C (3)
...u
Tu Ejercicio
∫LnIx+1I.dx **
Integramos por partes
Hacemos
u = LnIx+1I................dv = dx
derivas
...........1
du = --------.dx................v = x
.........(x+1)
Aplicas (1) reemplazamos en **
.....................x.dx
= xLnIx+1I - ∫------ ***
......................x+1
--------------------------------
Resolvemos aparte la integral
.x.dx
∫------
.x+1
haces
u = x + 1
despelas x
x = u - 1
derivas
dx = du
si quieres trabajas para que no te confundas con t y derivas dt
reemplazas en ***
....(u - 1)du
= ∫------------
....(u-1)+1
simplificas los 1
....(u - 1)du
= ∫------------
........u
independizas como fraccion homogenea
......u.....1....
= ∫(-- - ----)du
......u.....u
Aplicas prop independizas integrales parciales
.....udu......du
= ∫------ - ∫------
.......u........u
simplificando
.............du
= ∫du - ∫------
..............u
Aplicas formas basicas (2) y (3)
= u + C1 - LnIuI + C2
reemplazas el valor de u y sumas constantes
= (x+1) - LnIx+1I + C
reemplazamos finalmente en ***
= xLnIx+1I - (x+1) + LnIx+1I + C R/
factorizas los logaritmos
= LnIx+1I [x + 1 ] - (x - 1) + C
suerte
Solucion ::
∫Ln|x - 1|dx = (x - 1).Ln|x - 1| - (x - 1) + C
Donde C es una constante