Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito.
Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de Conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta. En esta enciclopedia, cero es considerado un número natural.
Axiomas de Peano
Aunque cualquier niño pequeño entendería qué conocemos por números naturales, su definición no es sencilla. Los Postulados de Peano describen de manera unívoca (eso es bastante discutible, pues si alguien sabe algo de lógica seria, sabe que hay un modelo de la aritmética de Peano con elementos "infinitos" (la famosa aritmética no estándar), propiedad que no tienen los naturales usuales) el conjunto de los números naturales, que se denota por N (o más exactamente por el carácter informático unicode ℕ si su navegador soporta la representación de caracteres unicode), de la siguiente forma:
• Sea el número natural 0
• Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por ´´a´´ + 1.
• No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 0.
• Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si a ≠ b, entonces a + 1 ≠ b + 1.
• Si S es un subconjunto de los números naturales tal que
1. 0 está en S
2. si n está en S entonces n+1 está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales
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Conjuntos inductivos y números naturales
Una definición más acertada del conjunto de los números naturales, es el mínimo conjunto que es inductivo (mínimo conjunto tal que contiene al 0; y si tiene a un elemento n, entonces debe contener a n^+:=n U {n}; esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel, aunque no vamos a entrar por ahora en detalles al respecto aunque se debería hacer).
Este último postulado asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
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Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos es común definir cada numero natural como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto (sera mayor el número que mas números contenga), a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados.
Es posible definir por inducción la suma mediante la expresión:
a + (b + 1) = (a + b) + 1
Lo que convierte a los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en en grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × puede ser definida mediante lo siguiente: a × (b + 1) = ab + a. Esto convierte (ℕ, ×) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo; suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:
a × (b + c) = ab + ac.
Encontramos que los números naturales están totalmente ordenados; lo comprobamos escribiendo a <= b si y sólo si existe otro número natural c que cumple: a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera:
si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc
Una propiedad importante de los números naturales es que son tienen un buen orden: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).
Mientras que en general no es posible dividir un número natural entre cualquier otro y que esta operación resulte un número natural; tenemos algo parecido a la división: para cualesquiera dos números naturales a y b, con b≠ 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que
a = bq + r y r < b.
El número q lo llamamos el cociente y r el resto de esta división de a entre b. Los números a y b están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
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Uso de los números naturales
Los números naturales son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de cardinal. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.
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Definiciones no matemáticas de los números naturales
1. Definición de Números: Son símbolos con los cuales se busca indicar una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza. Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.
Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenian a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc... Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc... Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.
2. Definición de Natural: Según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar, ahora bien según Mirtha Elías K. en su libro Matemática de 7mo Grado, Pág. 9 Capítulo I, dice que natural es algo cotidiano y se usa casi sin advertirlo.
3. Por qué es un Numero Natural: Según Mirtha Elías K. todo se encuentra en la naturaleza por eso los números naturales se llaman así, porque los usamos en forma natural casi sin advertirlo.
4. Enrique Navarro en su libro matemática de 7mo Grado, Pág. 16, los define como el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose por entero todo numero no decimal, ni fraccionario y como positivo todo numero que se ubica a la derecha del cero en la recta real.
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Historia
Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los Griegos y Romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los Romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos.
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Operaciones con números naturales
Suma de números naturales
a + b = c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma
1.Interna: a + b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3.Conmutativa: a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro: a + 0 = a
3 + 0 = 3
Resta de números naturales
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna
2 − 5 pertenece Números naturales
2. No es Conmutativa
5 − 2 ≠ 2 − 5
Mutiplicación de números naturales
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa: a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Elemento neutro: a · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Propiedades de la división
1.División exacta
División exacta 15 = 5 · 3
2. División entera
División entera 17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2 : 6 pertenece Números naturales
4. No es Conmutativo.
6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
6. No se puede dividir por 0.
Propiedades de las potencias
1.a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n
(25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23
Ejercicios de potencias
1 33 · 34 · 3 = 38
2 57 : 53 = 54
3 (53)4 = 512
4 (5 · 2 · 3) 4 = 304
5(34)4 = 316
6 [(53)4]2 = (512)2 = 524
7 (82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
8 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
9 25 · 24 · 2 = 210
10 27 : 26 = 2
11 (22)4 = 28
12 (4 · 2 · 3)4 = 244
13(25)4 = 220
14 [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
15 (272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
16 (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
Propiedades de las raíces
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2
raíz cuadrada exacta
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto
raíz cuadrada exacta
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
*si k es un número natural, entonces el sucesor de k se denota por k+1 y es un número natural
Otra definición (Más acertada pero más abstracta):
*El conjunto vacío {} se denota por 0 y es un número natural
*Si k es un número natural, entonces se define al susesor de k como
k + 1 := k U {k}
Entonces sería así
{} = 0
{{}} = 0 + 1 = 1
{ {}, {{}} } = 0 + 1 + 1 = 2
{ {}, {{}}, {{}, {{}}} } = 0 + 1 + 1 + 1 = 3
...
Si te fijas, con esta definición el 0 tiene 0 elementos, el 1 tiene sólo 1 elemento, el 2 tiene 2 y así susesivamente. Es decir que definimos a los números a partir de conjuntos. Recordemos que "0", "1", "2"... son sólo notación. Igual pudimos usar números Romanos o bien Mayas o bien escribir en binario, etc...
los numeros se agrupan en dos grandes divisiones los reales y los imaginanrios.... dentro de los reales que son todos los numeros(o casi) estan lo naturales, son los nùmeros enteros del -infinito al o y del cero al +infinito, excluyendo el cero del grupo
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Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito.
Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de Conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta. En esta enciclopedia, cero es considerado un número natural.
Axiomas de Peano
Aunque cualquier niño pequeño entendería qué conocemos por números naturales, su definición no es sencilla. Los Postulados de Peano describen de manera unívoca (eso es bastante discutible, pues si alguien sabe algo de lógica seria, sabe que hay un modelo de la aritmética de Peano con elementos "infinitos" (la famosa aritmética no estándar), propiedad que no tienen los naturales usuales) el conjunto de los números naturales, que se denota por N (o más exactamente por el carácter informático unicode ℕ si su navegador soporta la representación de caracteres unicode), de la siguiente forma:
• Sea el número natural 0
• Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por ´´a´´ + 1.
• No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 0.
• Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si a ≠ b, entonces a + 1 ≠ b + 1.
• Si S es un subconjunto de los números naturales tal que
1. 0 está en S
2. si n está en S entonces n+1 está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales
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Conjuntos inductivos y números naturales
Una definición más acertada del conjunto de los números naturales, es el mínimo conjunto que es inductivo (mínimo conjunto tal que contiene al 0; y si tiene a un elemento n, entonces debe contener a n^+:=n U {n}; esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel, aunque no vamos a entrar por ahora en detalles al respecto aunque se debería hacer).
Este último postulado asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
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Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos es común definir cada numero natural como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto (sera mayor el número que mas números contenga), a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados.
Es posible definir por inducción la suma mediante la expresión:
a + (b + 1) = (a + b) + 1
Lo que convierte a los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en en grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × puede ser definida mediante lo siguiente: a × (b + 1) = ab + a. Esto convierte (ℕ, ×) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo; suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:
a × (b + c) = ab + ac.
Encontramos que los números naturales están totalmente ordenados; lo comprobamos escribiendo a <= b si y sólo si existe otro número natural c que cumple: a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera:
si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc
Una propiedad importante de los números naturales es que son tienen un buen orden: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).
Mientras que en general no es posible dividir un número natural entre cualquier otro y que esta operación resulte un número natural; tenemos algo parecido a la división: para cualesquiera dos números naturales a y b, con b≠ 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que
a = bq + r y r < b.
El número q lo llamamos el cociente y r el resto de esta división de a entre b. Los números a y b están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
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Uso de los números naturales
Los números naturales son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de cardinal. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.
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Definiciones no matemáticas de los números naturales
1. Definición de Números: Son símbolos con los cuales se busca indicar una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza. Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.
Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenian a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc... Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc... Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.
2. Definición de Natural: Según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar, ahora bien según Mirtha Elías K. en su libro Matemática de 7mo Grado, Pág. 9 Capítulo I, dice que natural es algo cotidiano y se usa casi sin advertirlo.
3. Por qué es un Numero Natural: Según Mirtha Elías K. todo se encuentra en la naturaleza por eso los números naturales se llaman así, porque los usamos en forma natural casi sin advertirlo.
4. Enrique Navarro en su libro matemática de 7mo Grado, Pág. 16, los define como el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose por entero todo numero no decimal, ni fraccionario y como positivo todo numero que se ubica a la derecha del cero en la recta real.
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Historia
Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los Griegos y Romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los Romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos.
Es José pongan like y oídme para ls para la persecución
Son todos los números enteros positivos mayores que 0.
Es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...
Solo Puedo Decirte Que Números Naturales Son Los Que Son De 0 En Adelante Osea 1,2,3,4,5,6,7,8,9 etc.
Son Los Que Se Pueden Decir Que Son Positivos
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Operaciones con números naturales
Suma de números naturales
a + b = c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma
1.Interna: a + b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3.Conmutativa: a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro: a + 0 = a
3 + 0 = 3
Resta de números naturales
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna
2 − 5 pertenece Números naturales
2. No es Conmutativa
5 − 2 ≠ 2 − 5
Mutiplicación de números naturales
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b PerteneceConjunto de los números naturales
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa: a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Elemento neutro: a · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
División de números naturales
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Propiedades de la división
1.División exacta
División exacta 15 = 5 · 3
2. División entera
División entera 17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2 : 6 pertenece Números naturales
4. No es Conmutativo.
6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
6. No se puede dividir por 0.
Propiedades de las potencias
1.a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n
(25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23
Ejercicios de potencias
1 33 · 34 · 3 = 38
2 57 : 53 = 54
3 (53)4 = 512
4 (5 · 2 · 3) 4 = 304
5(34)4 = 316
6 [(53)4]2 = (512)2 = 524
7 (82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
8 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
9 25 · 24 · 2 = 210
10 27 : 26 = 2
11 (22)4 = 28
12 (4 · 2 · 3)4 = 244
13(25)4 = 220
14 [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
15 (272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
16 (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
Propiedades de las raíces
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2
raíz cuadrada exacta
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto
raíz cuadrada exacta
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
Ejercicios de operaciones combinadas con números naturales
1 27 + 3 · 5 – 16 =
27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 15 − 16 = 26
2 27 + 3 – 45 : 5 + 16=
27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 37
3 (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
(2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 27 + 8 – 3 = 32
5 2 + 5 · (2 ·3)³ =
2 + 5 · (2 ·3)³ = 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= 2{4[7 + 4 (15 − 9)] − 3 (40 − 8)}=
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
87 · 3 + [ 6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · raíz] + 9 : 3 =
= 7 · 3 + [ 6 + 2 · (8 : 4 + 3 · 2) – 7 · 2 ] + 9 : 3 =
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32
Definición:
*0 es un número natural
*si k es un número natural, entonces el sucesor de k se denota por k+1 y es un número natural
Otra definición (Más acertada pero más abstracta):
*El conjunto vacío {} se denota por 0 y es un número natural
*Si k es un número natural, entonces se define al susesor de k como
k + 1 := k U {k}
Entonces sería así
{} = 0
{{}} = 0 + 1 = 1
{ {}, {{}} } = 0 + 1 + 1 = 2
{ {}, {{}}, {{}, {{}}} } = 0 + 1 + 1 + 1 = 3
...
Si te fijas, con esta definición el 0 tiene 0 elementos, el 1 tiene sólo 1 elemento, el 2 tiene 2 y así susesivamente. Es decir que definimos a los números a partir de conjuntos. Recordemos que "0", "1", "2"... son sólo notación. Igual pudimos usar números Romanos o bien Mayas o bien escribir en binario, etc...
Definición de suma:
a + (b + 1) = (a + b) + 1
Definición de multiplicación:
a × (b + 1) = (a × b) + a
Definición de potencia:
a^0 = 1
a^(b + 1) = (a^b) × a
Propiedades:
*La suma es asociativa:
a + (b + c) = (a + b) + c
*La suma es conmutativa:
a + b = b + a
*La multiplicación se distribuye en la suma:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
*La multiplicación es asociativa:
a × (b × c) = (a × b) × c
*La multiplicación es conmutativa:
a × b = b × a
Los números naturales son los numeros desde 0 hasta 9, son 10, por eso son "Decimales" (de décimo; 10) el 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9. Espero que te sirva. -
Virginia
alguien me puede ayudar con 3x+31igual68dividido 2
los numeros se agrupan en dos grandes divisiones los reales y los imaginanrios.... dentro de los reales que son todos los numeros(o casi) estan lo naturales, son los nùmeros enteros del -infinito al o y del cero al +infinito, excluyendo el cero del grupo
si tiene razón, aunque sean quebrados o con decimales, mientras sean positivos...