¿ayuda con una ecuación diferencial homogénea ?
1. (d4y/dx4) - 3(d3y/dx3)+ 3(d2y/dx2)-(dy/dx)=0 s.a. y(0)=y´(0)=0, y´´(0)=y´´´=1
Respuesta: y= 2-2ex+ 2xex-(1/2)x2ex .
mi factor es m^2·(m^2 - 3·m + 3 - 1/m) o m·(m - 1)^3 y m=1
que es lo que sigue como encuentro la solución general con las condiciones s.a. y(0)=y´(0)=0, y´´(0)=y´´´=1
se que se tiene que derivar pero que se deriva la solución u otra cosa.
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Hola
(d4y/dx4) - 3(d3y/dx3)+ 3(d2y/dx2)-(dy/dx)=0
y = e^(r x)
r^4 - 3 r^3 + 3 r^2 - r = 0
r ( r^3 - 3 r^2 + 3 r - 1) = 0
r (r -1)^3 = 0
r = 0 (raíz simple)
r = 1 (raíz triple)
Tenemos la solución general
y = C1 + (C2 + C3 x + C4 x^2) e^(x)
Se deriva y se van despejando las constantes.
y(0) = C1 + C2 = 0 ---> C1 = -C2
Queda
y = (C2 + C3 x + C4 x^2) e^(x) - C1
y' = (C2 + C3 x + C4 x^2 + C3 + 2 C4 x) e^(x)
y' = ((C2 + C3) + (C3 + 2 C4) x + C4 x^2 ) e^(x)
y'(0) = C2 + C3 = 0 ---> C3 = - C2
Queda
y = (C2 - C2 x + C4 x^2) e^(x)
y' = ((-C2 + 2 C4) x + C4 x^2 ) e^(x)
y'' = ((-C2 + 2 C4) x + C4 x^2 + (-C2 + 2 C4) + 2 C4 x) e^(x)
y''(0) = -C2 + 2 C4 = 1 ---> C2 = 2 C4 - 1
Queda
y = (2C4 - 1 - 2C4 x + x + C4 x^2) e^(x) - (2C4 - 1)
y' = ( x + C4 x^2 ) e^(x)
y'' = (1 + (2 C4 + 1)x + C4 x^2) e^(x)
y''' = (1 + (2 C4 + 1)x + C4 x^2 + (2C4 +1) + 2 C4 x) e^(x)
y'''(0) = 2 + 2 C4 = 1 ---> C4 = -1/2 ---> 2C4 -1 = -2
En definitiva
y = 2 + ( -2 + 2 x - (1/2) x^2) e^x
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saludos