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Hola

Una matriz involutiva coincide con su inversa

A = A^-1

Si multiplicamos por A

A * A = A * A^-1

A^2 = I (matriz unidad)

Las matrices unidad son involutivas.

En general,

se pueden construir matrices involutivas

con los elementos diagonales "+1" ó "-1"

Por ejemplo

M =

|..1.......0.........0..|

|..1......-1.........0..|

|..0.......0........-1..|

cumple

M*M = I (matriz unidad)

Saludos

En general una matriz involutiva puede construirse de la siguiente manera:

A*A = I - 2B

donde I es la matriz identidad y B es una matriz idempotente. Ya que,

A*A = (I - 2B)(I - 2B) = I * I - 4B + 4B*B

y como B*B = B, lo anterior se reduce a:

A*A = I - 4B + 4B

Y, se tiene entonces que A*A = I

Ahora, para encontrar la matriz idempotente vasta elegir una matriz V de rxn, con r<n, con r renglones linealmente independientes y una matriz U de nxr, de r columnas linealmente independientes, de tal forma que el producto VU tenga inversa. Para asegurar esto se puede elegir como U a la transpuesta de V.

La matriz idempotente se forma de la siguiente manera:

B = U * inv(VU) * V

donde inv(VU) es la inversa del producto de V por U.

Comprobamos entonces que se cumple que B es una matriz idempotente:

B*B = (U*inv(VU)*V)(U*inv(VU)*V)

= U*inv(VU)*VU*inv(VU)*V

= U*inv(VU)*V

B*B = B

saludos