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Ideas Básicas de Álgebra

Son solo tres ideas básicas y las reglas para manejar las relaciones ("ecuaciones") que implican cantidades desconocidas, cuyos valores está intentando hallar.

En la mayoría de los cálculos intentamos encontrar un número. Por ejemplo, el área de un terreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es

25 x 40 = 1000 m2

Hasta que llevemos a cabo la multiplicación, podemos representar la respuesta por alguna letra, normalmente la x, y escribir

25 x 40 = x

Podemos decir que "x simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental del álgebra es muy simple:

La cantidad desconocida x es un número como cualquier otro. Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir de la misma forma que los números comunes.

A la relación matemática que implica a números conocidos (como 25 o 40) y a desconocidos (como x) se la conoce como una ecuación. A veces no tenemos x de una forma tan clara como anteriormente, sino que está dentro de alguna expresión complicada. Par obtener una solución, deberemos reemplazar la susodicha ecuación (o ecuaciones) por otras que contengan la misma información pero de forma más clara. El objetivo final es aislar la incógnita, para que parezca aparte, para proporcionar a la ecuación la entedicha fórmula, a saber

x = (expresión conteniendo solo números conocidos)

Una vez alcanzado esto, el número que representa la x puede calcularse rápidamente.

Por ejemplo:

"¿Cual es el número que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3, obtiene 3?"

Llame a ese número x. La declaración hecha mediante palabras puede también escribirse por medio de una ecuación:

(2x + 5)/3 = 3

El paréntesis encierra las cantidades que se manejan como un número único, y 2x significa "2 veces x". En álgebra, los símbolos (o paréntesis) colocados junto a otros se sobreentiende que están multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundirá por la similitud entre la letra x y el signo de la multiplicación. Los programas de computadora, en cambio, normalmente representan la multiplicación mediante *, colocado un poco más bajo que aquí.

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Una segunda idea fundamental en álgebra es:

Si tiene una ecuación y modifica ambos lados de la misma exactamente igual, lo que obtiene también es una ecuación válida.

Puede sumar, restar, multiplicar o dividir cualquier número que desee; si lo hace de forma igual en ambos lados de la igualdad, el resultado sigue siendo válido. Asimismo la nueva ecuación sigue conteniendo la misma ecuación que antes. (Pero no multiplique ambos lados por 0 y obtenga 0 = 0; el resultado es correcto, pero toda su información se ha desvanecido en el aire.)

Por ejemplo, la ecuación dad anteriormente:

(2x + 5)/3 = 3

Multiplique ambos lados por 3:

(2x + 5) = 9

Reste 5 en ambos lados:

2x = 9 - 5 = 4

Divida ambos lados por 2:

x = 4/2 = 2

Y se obtiene el resultado, x = 2. El álgebra de bachillerato contiene un montón más, pero las reglas simples anteriores, más el objetivo básico de "aislar el número desconocido", le dará buenos resultados.

Frecuentemente se salta un último paso, pero no se debe hacer. Para estar seguro de que no ha cometido un error por el camino, tome la ecuación original

(2x + 5)/3 = 3

y reemplace en ella la cantidad desconocida x por el valor que ha calculado, en este caso el número 2, y compruebe si los dos lados son iguales. Si lo son, puede estar seguro de que su respuesta es correcta.

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Un tercer elemento es la sustitución:

Si sabe que una cantidad o expresión desconocida se puede expresar de forma diferente, puede sustituirla por la forma alternativa de expresarla. Esto proporciona una nueva ecuación, que algunas veces lleva a la solución.

Suponga que tiene dos cantidades desconocidas, x e y, y dos ecuaciones asociándolas (hacen falta dos para obtener una solución única, ya que con solo una, existe un número infinito de pares de x e y que lo satisfacen):

x + 2y = 7 (1)

2x + y = 5 (2)

Reste 2y a ambos lados de (1):

x = 7 - 2y (3)

y sustituya esto por x en (2)

2(7 - 2y) + y = 5

Luego

14 - 4y + y = 5

Reste 14

- 4y + y = 5 - 14

-3y = -9

Multiplique ambos lados por (-1)

3y = 9

y = 3

Luego de (3)

x = 7 - 2y = 7 - 6 = 1

Como prueba final, coloque x=1, y=3 en las ecuaciones (1) y (2) y asegúrese de que esas soluciones satisfacen los requisitos. Si no lo hace, probablemente haga algún error durante el cálculo.

Otro tipo de sustitución, particularmente la sustitución de ecuaciones completas se pospone al final de la sección (M-3), que es sobre fórmulas.