lo siento no lo se

Hola,

lim [sen(3x) /tanx] =

x→0

se trata de una forma indeterminada 0/0; reescribamos tanx como

senx /cosx:

lim [sen(3x) /(senx /cosx)] =

x→0

lim [sen(3x) (cosx /senx)] =

x→0

lim {cosx [sen(3x) /senx]} =

x→0

dividamos y multipliquemos por :

lim {cosx {[sen(3x)] /(3x)} (3x /senx)} =

x→0

reescribamos esto como:

lim {3cosx {[sen(3x)] /(3x)} {1 /[(senx) /x]} } =

x→0

en donde [sen(3x)] /(3x) y (senx) /x son límites notables

(lim [(senx) /x] = 1; si x tiende a cero, 3x también tiende a cero):

x→0

lim {3cos(→0) (→1) [1 /(→1)]} } =

x→0

lim [3(→1) (→1) (→1)] =

x→0

3

============================================

lim [x² /sen²(3x)] =

x→0

se trata de una forma indeterminada 0/0

multipliquemos y dividamos por 3²:

lim {(3²x²) /[3² sen²(3x)]} =

x→0

lim {(3x)² /[9 sen²(3x)]} =

x→0

lim {(1/9) [(3x)² /sen²(3x)]} =

x→0

reescribamos esto como:

lim {(1/9) {1 /{[sen(3x)] /(3x)}²} } =

x→0

en donde [sen(3x)] /(3x) es un límite notable del tipo lim [(sen t) /t] = 1

......... .............. .......... ......................... ............. t→0

(si llamamos 3x = t, cuando x tiende a cero, t también tiende a cero)

lim {(1/9) [1 /(→1)²]} =

x→0

(1/9)(1) =

1/9

=========================================

lim [(1 - cosx) /x²] =

x→0

multipliquemos y dividamos por 1 + cosx:

lim {[(1 + cosx)(1 - cosx)] /[x² (1 + cosx)]} =

x→0

lim {(1² - cos²x) /[x² (1 + cosx)]} =

x→0

lim {(1 - cos²x) /[x² (1 + cosx)]} =

x→0

(reemplazando 1 - cos²x con sen²x)

lim {sen²x /[x² (1 + cosx)]} =

x→0

reescribamos esto como:

lim {[(senx) /x]² [1 /(1 + cosx)]} =

x→0

en donde (senx) /x es un límite notable (lim [(senx) /x] = 1):

.............. .................. ............... ........x→0

lim {(→1)² {1 /[1 + cos(→0)]} } =

x→0

lim {(→1) {1 /[1 + (→1)]} } =

x→0

1 [1 /(1 + 1)] =

1 (1/2) =

1/2

espero que sea de ayuda

¡Saludos!

1) Basta aplicar en primer lugar la fórmula del seno de la suma de los ángulos

sen (a+b) = sen(a) * cos(b) + sen(b) * cos(a)

En nuestro caso basta tomar a=x y b=2x. Después debemos aplicar las fórmulas del seno y coseno del ángulo doble.

sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)

Así tenemos que

sen(3x) = sen (x+2x) = sen(x) * cos(2x) + sen(2x) * cos(x) =

= sen(x) * (cos^2(x) - sen^2(x)) + (2 * sen(x) * cos(x)) * cos(x) =

= sen(x) * (4cos^2(x) - 1)

Por otro lado tg(x) = sen(x) / cos(x). Al tomar sen(3x) / tg(x) podemos simplificar sen(x) y obtenemos

sen(3x) / tg(x) = cos(x) * (4cos^2 -1)

Luego lim(x-->0) sen(3x) / tg(x) = lim(x-->0) cos(x) * (4cos^2 -1) = 1 * (4 - 1)= 3

2) Sustituyendo x por 0 tenemos 0/0 que es una indeterminación. Para calcularla basta aplicar 2 veces L'Hôpital (derivar independientemente arriba y abajo). La solución es 1/9.

3) El caso número 2 es análogo a este. Tenemos el caso 0/0 y basta aplicar 2 veces L'Hôpital para resolverlo.

lim(x-->0) (1 - cos(x)) / x^2 = lim(x-->0) sen(x) / (2x) = lim(x-->0) cos(x) /2 =1/2.

Nota: En las 2 primeras igualdades hemos usado L'Hôpital y en la última se usa que cos(0)=1.

Espero que quede claro. El caso 2 como es parecido al tercero lo he dejado sin hacer para lo intentes y veas si te sale.