¿hallar un vector unitario, paralelo y normal a la grafica de f(x) en el punto dado?
ayudaa por favooor!!! el lunes tengo examen y no le entiendo a esto, como se realiza???? por favoor!!!
1) F(x)= x^2 en el punto (3,9)
2) F(x)= -x^2+5 en el punto (1,4)
GRACIAS!!!!
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Estimada amiga, el vector paralelo es aquel que lleva la dirección de la recta tangente; mientras que el normal lleva la dirección de la recta perpendicular a la tangente en el punto de estudio.
Problema 1) f(x) = x² en el punto (3,9)
hallamos la primera derivada de f(x):
f '(x) = 2x
evaluamos la primera derivada en el punto de estudio:
f '(3) = 2(3) = 6
lo anterior quiere decir que la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x² en el punto (3,9) es m = 6. Con esta información, podemos hallar la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (3,9):
y = mx + b ⇒
y = 6x + b
para hallar el valor de b, sustituimos las coordenadas del punto (3,9):
9 = 6(3) + b ⇒
9 = 18 + b ⇒
b = 9 - 18 ⇒
b = -9
por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:
y = 6x - 9
es fácil deducir que otro punto de la recta tangente es (0,-9)
→
entonces, el vector paralelo se forma con los puntos (3,9) y (0,-9). Si llamamos v a este vector, entonces:
→
v = (3-0,9-(-9)) ⇒
→
v = (3,9+9) ⇒
→
v = (3,18) → VECTOR PARALELO
como el vector debe ser unitario, entonces debemos dividirlo entre el módulo. Hallamos primero el módulo de v:
→
|v| = √(3² + 18²) = √(9 + 324) = √(333) = 3√(37)
para obtener el vector unitario, dividimos el vector entre su módulo:
→
|v₁| = (3,18) / 3√(37) ⇒
→
|v₁| = (1,6) / √(37) ⇒
→
|v₁| = (1/√(37),6/√(37)) → VECTOR UNITARIO PARALELO
Ahora hallaremos el vector normal, para lo cual seguiremos un procedimiento similar. Primero hallamos la ecuación de la recta perpendicular
y = m₁x + b₁
como las rectas son perpendiculares, el producto de las pendientes es igual a -1:
(m₁)(m) = -1 ⇒
m₁ = -1 / m ⇒
m₁ = -1 / 6
entonces:
y = (-1/6)x + b₁
para hallar b₁ sustituimos las coordenadas del punto (3,9):
9 = (-1/6)3 + b₁ ⇒
9 = -3/6 + b₁ ⇒
9 = -1/2 + b₁ ⇒
b₁ = 9 + 1/2 ⇒
b₁ = 18/2 + 1/2 ⇒
b₁ = 19/2
por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular es:
y = (-1/6)x + 19/2
otro punto de esta recta es (0,19/2)
→
entonces, el vector normal se forma con los puntos (3,9) y (0,19/2). Si llamamos t a este vector, entonces:
→
t = (3-0,9- 19/2) ⇒
→
t = (3,-1/2) → VECTOR NORMAL
como el vector debe ser unitario, entonces debemos dividirlo entre el módulo. Hallamos primero el módulo de t:
→
|t| = √(3² + (-1/2)²) = √(9 + 1/4) = √(37/4)
para obtener el vector unitario, dividimos el vector entre su módulo:
→
|t₁| = (3,-1/2) / √(37/4) ⇒
→
|t₁| = (3/√(37),-1/2/√(37)) → VECTOR UNITARIO NORMAL
Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!
Los dos puntos determinan una recta: r: (x,y,z) = (2,a million,-a million) + t (2-a million,a million-0,-a million+3) = (2,a million,-a million) + t (a million,a million,2) ... este camino no nos conduce a nada... Si el vector ha de ser paralelo al plano tendrá que ser perpendicular al vector asociado al plano (4,5,6) y también sera perpendicular al vector que une P1 y P2 como extremo, (a million,a million,-4). Ahora sólo te falta calcular el producto vectorial y tendrás un vector perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a l. a. recta y al vector asociado, así será paralelo al plano. (4,5,6) x (2,2,-4) = ... (lo calculas). Sólo te falta que su módulo sea l. a. unidad y eso lo consigues dividiendo el vector resultante por su módulo. El otro vector lo consigues multiplicando por -a million el resultado anterior. Salu2