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Hola,

por sustitución trigonométrica:

escribamos el radicando como diferencia de cuadrados:

∫ √(3² - x²) dx =

sea:

x = 3senθ → senθ = x/3 ↔ θ = arcsen(x/3)

dx = 3cosθ dθ

sustituyendo, obtenemos:

∫ √(3² - x²) dx = ∫ {√[3² - (3senθ)²]} 3cosθ dθ =

∫ [√(3² - 3²sen²θ)] 3cosθ dθ =

∫ {√[3²(1 - sen²θ)]} 3cosθ dθ =

(aplicando la identidad 1 - sen²θ = cos²θ)

∫ [√(3²cos²θ)] 3cosθ dθ =

∫ 3cosθ 3cosθ dθ =

∫ 9cos²θ dθ =

apliquemos la fórmula para la reducción del exponente cos²θ = [1 + cos(2θ)] /2:

∫ 9 {[1 + cos(2θ)] /2} dθ =

∫ (9/2)[1 + cos(2θ)] dθ =

(partiendo en dos integrales y sacando las constantes)

(9/2) ∫ dθ + (9/2) ∫ cos(2θ) dθ =

(9/2)θ + (9/2) (1/2)sen(2θ) + C =

(aplicando la fórmula del ángulo doble sen(2θ) = 2senθ cosθ)

(9/2)θ + (9/2) (1/2)2senθ cosθ + C =

(9/2)θ + (9/2)senθ cosθ + C

recordemos que:

θ = arcsen(x/3)

senθ = x/3

por lo tanto:

cosθ = √(1 - sen²θ) = √[1 - (x/3)²] = √[1 - (x²/9)] = √[(9 - x²)/9] = [√(9 - x²)] /3

luego, sustituyendo:

(9/2)θ + (9/2)senθ cosθ + C = (9/2)arcsen(x/3) + (9/2) (x/3) {[√(9 - x²)] /3} + C =

(9/2)arcsen(x/3) + (9/2)(x/9)√(9 - x²) + C =

(9/2)arcsen(x/3) + (1/2)x √(9 - x²) + C

en conclusión:

∫ √(9 - x²) dx = (9/2)arcsen(x/3) + (1/2)x √(9 - x²) + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!

para integrales del tipo raiz (a^2-x^2) se hace el cambio de variable x=a*sen(t)

En este caso: x=3sen(t) ----> dx=3cos(t)dt

∫ raiz (9-x^2) dx = ∫ raiz(9-9sen^2(t))*3cos(t) dt

∫ raiz(9(1-sen^2(t))*3cos(t) dt = ∫ 3cos(t)*3cos(t) dt

= ∫ 9cos^2(t) dt

= 9 ∫ (1+cos(2t))/2 dt ( esto sale de cos(2x)=cos^2(x)-sen^(x)=2cos^2(x) - 1 )

= 9t + 9/4sen(2t) = 9t + 9/2sen(t)cos(t) + C

luego debes volver a la varible original, como x=3sen(t)

sen(t)= x/3

esto quiere decir que el triangulo de angulo t tiene a x como cateto opuesto a t y 3 como hipotenusa. Por pitagoras el otro cateto es raiz(9-t^2)

entonces cos(t)= raiz(9-t^2)/3

la integral quedaria:

9arcsen(x/3) + 9/2*x/3*raiz(9-t^2)/3 + C

=9arcsen(x/3) + x*raiz(9-t^2)/2 + C

eso es todo espero que te sirva.

¿Nadie ve que dice raiz?

Veamos haz el cambio x = 3 sen t

d x = 3 cos t d t

raiz (9 - x^2) = raiz (9 - (3 sen t)^2 ) = 3 cos t

luego queda integral de ( 3 cos t · 3 cos t dt) = 9 integral de (cos t)^2 dt

sustituyen (cos t)^2 por (1 + cos 2 t) / 2

queda I = (9/2) integral (1 + cos 2 t) dt = (9/2) · (t + (1/2) sen (2t) ) + C

deshaz el cambio x = 3 sen t, esto es t = arc sen (x/3)

y ya está

9 * x - x^3/3 + C

Agregar una constante C

pues sería:

9x - x^3/3

nueve x menos un tercio de x al cubo

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+roo...

NI IDEA SOY MALISIMO PARA MATE

SUERTE