Para encontrar el área de la región usando la definición de la integral se puede hacer primero un cambio de variable.

Área entre f(x) = ∛(x + 1) y el eje x, donde 0 ≤ x ≤ 7

u = x + 1

Nuevo límite superior → u = 7 + 1 = 8

Nuevo límite inferior → u = 0 + 1 = 1

∴

Área entre f(u) = ∛u y el eje x, donde 1 ≤ u ≤ 8

En este caso, se pueden evaluar dos sumas de Riemann: una para 0 ≤ u ≤ 8 y otra para 0 ≤ u ≤ 1; y luego restar el segundo resultado del primero.

Dado que es la función raíz cúbica, se pueden considerar particiones de ancho Δuᵢ no uniforme, es decir, de ancho variable.

Si 0 ≤ u ≤ 8, considera:

uᵢ = 8 (i³/n³) ⇒ f(uᵢ) = ∛(8 (i³/n³)) = 2 (i/n)

Δuᵢ = uᵢ - uᵢ₋₁ = 8 (i³/n³) - 8 (i - 1)³/n³ = 8 (3i² - 3i + 1)/n³

Si 0 ≤ u ≤ 1, considera:

uᵢ = i³/n³ ⇒ f(uᵢ) = ∛(i³/n³) = i/n

Δuᵢ = uᵢ - uᵢ₋₁ = (i³/n³) - (i - 1)³/n³ = (3i² - 3i + 1)/n³

https://youtu.be/Y1fgXp9PVqM