¿como compruebo que 1=1+0i es la unica identidad multiplicativa en los complejos?
tengo algunas ideas, pero no se que tan correctas sean...
si escribo en forma de par ordenado 1=(1,0) y 0i=(0,1)???? no see =0
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Supongamos que z = a+bi es otra unidad multiplicativa de los complejos, entones, paraa todo complejo w= c+di , tenemos que:
z.w = w , esto es,
(a+bi)(c+di) = c+di
ac+adi+bci+bdi² = c+di
ac+adi+bci-bd = c+di
ac-bd+ (ad+bc)i= c+di
Entonces:
ac-bd = c y ad+bc=d .....(*)
-bd=c-ac y bc=d-ad
-bd=c(1-a) y bc=d(1-a) , multiplicando por "d" a la primera igualdad y por "c" a la segunda:
-bd²=cd(1-a) y bc²=cd(1-a)
Luego:
-bd² = bc²
bc²+bd² =0
b(c² +d² ) =0
b=0 ó c² +d² =0 , ahora como w = c+di es arbitrario entonces:
b=0 -----(1)
Luego en (*) : ac= c y ad=d , ahora como w = c+di es arbitrario, tomando "c" ó "d" diferente de cero, tenemos que:
a=c/c=1 ....(2)
Finalmente de (1) y (2):
z = 1+0i
con lo cual hemos probado que 1=1+0i es la unica identidad multiplicativa en los complejos.
Espero te ayude.
Bueno en primer lugar debes demostrar 2 cosas. 1. Demuestras que si z = x+iy es un numero complejo entonces z * (1 + 0i) = z, lo cual es realmente facil.
por ultimo demuestras que es unico es decir que si existe un numero X = a+ib tal que X*z = z entonces X ha de ser el 1. Para ello efectuamos:
X*z = (a+ib)*(x+iy)= (ax - by)+i(ay + bx), pero si X*z = z entonces:
ax - by = x (I)
ay + bx = y (II)
de la ecuacion (I) obtenemos que a = (x+by)/x, sustituyendo en la ecuacion (II) se tiene:
y(x+by)/x + bx = y => y + by^2/x + bx = y => b( y^2/x + x ) = 0 <=> y^2/x + x = 0 ó b = 0 pero y^2/x + x = 0 es imposible ya que de lo contrario tendriamos que y^2 = -x^2 lo cual es imposible por lo tanto b = 0, ahora bien si b = 0 entonces a = (x + 0)/x = 1. Luego X = 1+0i como queriamos demostrar.
La respuesta es sencilla:
Primero, el número 1 es la entidad multiplicativa en todo conjunto numérico.
Segundo, el número 1 en notación de número complejo se escribe asà "1 + 0i"
Si quieres comprobar que es realmente el 1, pues multiplica cualquier expresión compleja por 1 y verás que el resultado será la misma expresión.
Ahora,quieres comprobar que 1 + 0i es igual a 1, veámoslo:
i=ÂRaiz Cuadrada De -1
1= 1 + 0i --------------> 0i = 0 x i = 0
1 = 1 + 0 --------------> 1 + 0 = 1
1 = 1
Lo que queda demostrado.
Suerte!
No se