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Supongamos que son ecuaciones igualadas a CERO y no simples trinomios.

x² - 5x + 6= 0

Solo completas el trinomio cuadrado perfecto cuando no hallas dos números que multiplicados den el término independiente y sumados convenientemente den el coeficiente de la “x”

En este primer ejemplo los factores primos de 6 son 2 y 3 y observas que si ambos son negativos la suma será negativa y el producto positivo por lo que no es necesario completar el trinomio cuadrado perfecto ya que lo es, quedando:

x² - 5x + 6= = ( x -2)(x -3)= 0

Si quieres saber el valor de la x, solo iguala a cero cada binomio quedando que:}

x1= 2 y x2= 3 Siendo ellas las raíces de la ecuación

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Segundo problema :

x² + 8x + 7 = 0

Aquí observas que los factores primos del 7 son 7 y 1 y si ambos son positivos la suma es igual a 8 por lo que tampoco necesitas completar el trinomio cuadrado perfecto ya que:

x² + 8x + 7 = (x +7)(x +1)= 0

Siendo las raíces de la ecuación:

X1= -7 y x2= -1

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Respecto al último probleman no creo que estés estudiando ecuaciones de quinto grado cuando aun no dominas las de segundo grado. En esta ecuación solo tienes unas raíz real, ya que las otras cuarto son complejas. Y según sé, es difícil resolver una ecuación de 5 o mayor grado a mano.

Te dejo una ecuación en donde sí se debe completar el cuadrado perfecto que es como se obtiene la fórmula RESOLUTIVA de la ecuación de segundo grado.

Observa cómo se completa el trinomio cuadrado perfecto:

2x² -3x -27= 0

Empieza por dividir la ecuación por el coeficiente de la x² quedando:

x² -3x/2 -27/2 = 0

Pasa el término independiente al segundo miembro:

x² -3x/2 = 27/2

Agrega a cada miembro, la mitad del coeficiente de la x, elevado al cuadrado: esto es: (3/2/2)² = 9/16.

x² -3x/2 + 9/16= 27/2 + 9/16

Observa que en el primer miembro ya tienes el cuadrado perfecto por lo que puedes escribir en forma de binomio al cuadrado:

x² -3x/2 + 9/16= (x -3/4)² =27/2 + 9/16 = (216 +9)/16 = 225/16

Quedando:

(x – 3/4)² = 225/16

Para obtener las raíces, extraes raíz cuadrada a cada miembro quedando:

X – 3/4 = ±√225/16

X1= 15/4 + 3/4 = 18/4 = 9/2

X2=- 15/4 +3/4 = -12/4= -3

Ojalá me haya podido explicar y puedas entender el proceso

Solucion

El metodo llama completamiento de cuadrados o completacion de cuadrados es un metodo que sirve para expresar un polinomio de cierto grado digamos ''n'' en suma binomios con exponente ''n''.

Este metodo es muy empleando en la matematica basica cuando tenemos una expresion o ecuacion general y queremos llevarla a su forma ordinaria o canonica,ejemplo en la ecuacion de una parabola, o en la ecuacion de una elipseo tambien en la ecuacion de una circunferencia y esferas.

Veamoslo mejor mediante tus ejemplitos okis::

Completar cuadrados ::

x^2 - 5x + 6

El coeficiente de la variable ''x'' la dividimos entre 2 y enseguida formamos el binomio cuadrado y luego le restamos a este binomio su cuadrado. Asi observa::

(x - 5/2)^2 - (5/2)^2 + 6

(x - 5/2)^2 - 25/4 + 24/4

(x - 5/2)^2 -1/4

Por lo tanto::

x^2 - 5x + 6 = (x - 5/2)^2 -1/4

Completar cuadrados en::

x^2 + 8x + 7

(x + 8/2)^2 - (8/2)^2 + 7

(x + 4)^2 - 16 +7

(x + 4)^2 - 9

Por lo tanto::

x^2 + 8x + 7 = (x + 4)^2 - 9

Ahora completemos cuadrados en tu ultimo ejemplito veamos:::

Primeramente factoricemos el polinomio okis::

4x^5 + 8x^3 + 4 = 4x^3[x^2 + 2] + 4 ....(*)

Completemos cuadrados en el factor (x^2 + 2).

x^2 + 2 =

(x +1)^2 - 1 + 2 =

(x +1)^2 + 1

Por tanto::

x^2 + 2 = (x +1)^2 + 1

Reemplazando este valor en (*) tenemos

4x^5 + 8x^3 + 4 = 4x^3[x^2 + 2] + 4

= 4x^3((x +1)^2 + 1) + 4

= 4x^3(x+1)^2 + 4x^3 + 4

Por lo tanto::

4x^5 + 8x^3 + 4 = 4x^3(x+1)^2 + 4x^3 + 4

Recuerda siempre , el objetivo de completar cuadrados es que aparezcan binomios cuadrados en el resultado.

Es la respuesta

.7