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Lo primero que tienes que hacer es ordenar un poco esta ecuación diferencial y ver si es posible resolver mediante variables separables:

Tienes:

(1) xdx - ydy = xy(xdy - ydx)

>> xdx - ydy = x^2ydy - y^2xdx

>> xdx + y^2xdx = x^2ydy + ydy

>> (x + y^2x)dx = ( x^2y + y)dy

>> x(1 + y^2)dx = y(x^2 + 1)dy

(2) [ x/(x^2 + 1) ] dx = [ y/(y^2 + 1) ]dy

Nótese que la ecuación (2) Está totalmente desacoplada la variable x de la variable y. Ahora sólo basta con integrar:

(3) ∫ [ x/(x^2 + 1) ] dx = ∫ [ y/(y^2 + 1) ]dy

Nótese que el lado izquierdo de la ecuación posee la misma estructura que el lado derecho. Entonces bastaría con resolver una integral:

sea:

(4) u= x^2 +1

(5) du = 2x* dx

(6) dx = du/(2x)

Reemplazando (6) en (3) resulta:

(7) (1/2) ∫ (1/u)du => (1/2)ln(x^2 +1) = (1/2) ln(y^2 +1) + C1

Dado que la constante aparece debido a falta de condiciones iniciales es libre, por lo tanto se puede acomodar a la ecuación:

(8) ln |x^2 +1| = ln | (y^2 +1) * C2 | con C1= (1/2)ln C2

(9) x^2 +1 = (y^2 +1 )*C2

Finalmente queda:

(10) y= √[ (x^2 + 1 - C2) / C2 ]

Si C2 = 1 resulta:

(11) y = x