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¡Hola!

Espero dar una respuesta a la altura de tus espectativas...

Con tu permiso, me voy a centrar en funciones que están definidas sobre intervalos de números reales y en el sentido "clásico" de continuidad. También asumiré que los intervalos en cuestión están dentro del dominio de la función (si no, hay puntos en el intervalo para los cuales no tiene sentido preguntarse cuanto valdría la función).

Entonces, la idea es que una función es continua en un punto x si siempre que te acercas al punto x mediante unos puntos x_i, se cumple que las imágenes de los x_i se hacercan a la imagen del punto x, es decir, a f(x). También se suele expresar esto con la famosa frase "cuando se puede dibujar un trocito de función que contenga a f(x) sin levantar el lápiz del papel" (ya digo que estoy con la continuidad "clásica").

Entonces, si tú quieres saber si una función es continua en un intervalo abierto, cerrado o "semiabierto", sólo tienes que ver que es continua en cada punto de dicho intervalo. La diferencia entre ellos es pequeña.

Sabemos que los intervalos abiertos se caracterizan porque los extremos del intervalo no pertenecen al intervalo. Es decir, el (0,2) son los números entre 0 y 2 ambos excluídos. Aquí, entonces, no tienes problema para acercarte a cualquier número de dicho intervalo "por exceso" y "por defecto" (es decir, por la derecha y por la izquieda). Por ejemplo, si quieres estudiar la continuidad en el 1, tendría que pasar que las imágenes de 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... se acercaran a la imágen del 1, y también las de 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ... y las de cualquier cosa que se acerque a 1, como podría ser 0.9, 1.1, 0.99, 1.01, 0.999, 1.001, ... En resumidas cuentas, si quieres comprobar la continuidad en un intervalo abierto, tiene que cumplirse que para cada punto del intervalo coincidan:

a) El límite por la izquierda

b) El límite por la derecha

c) El valor de la función en dicho punto

¿Qué pasa con un intervalo cerrado?

Que los extremos del intervalo sí pertenecen y lo limitan. Entonces, si tienes un intervalo de la forma [a,b], es imposible acercarse al número 'a' por la izquierda sin salirse del intervalo, y también es imposible acercarse a 'b' por la derecha sin salirse del intervalo. Por tanto, para estos puntos sólo habría que comprobar el límite lateral que cae en el intervalo. Es decir,

-Para la continuidad en 'a' se ha de cumplir que el límite por la derecha sea igual a f(a)

- Para la continuidad en 'b', que el límite por la izquierda sea igual a f(b).

¿Y con el resto de puntos del intervalo [a,b]? En realidad, todos los demás también están en (a,b) y por tanto te puedes acercar tanto por la derecha como por la izquierda. Así que se tienen que cumplir las 3 condiciones que dijimos cuando el intervalo era abierto.

Perdón si es un poco largo... pero espero que al menos se entendiera.

Saludos!

PD: Una sutileza más ahora que espero que quedara todo claro. Con los intervalos cerrados hay que distinguir dos casos:

1) Algún extremo del intervalo cerrado coincide con el extremo del dominio de la función: En este caso pasa lo que expliqué arriba sobre intervalos cerrados para dicho punto.

2) Un extremo del intervalo cerrado no coincide con un extremo del dominio: Ése punto sería especial porque en realidad la función está definida a ambos lados suyos y SÍ habría que mirar que los límites por ambos lados coincidan.

Un ejemplo. Piensa en la función "parte entera", es decir, que a cada número real le hace corresponder su parte entera. Imagina que yo defino esa función en todos los números en [1, +∞).

Ahora, consideramos el intervalo [1,2] que está dentro del dominio. Es más o menos claro que en los números entre 1 y 2 (ambos excluídos) es continua. Luego, al menos es continua en (1,2). Veamos que pasa con los extremos.

¿Sería continua en el punto 2? No, por tanto la función NO sería continua en el intervalo [1,2] porque no es continua en 2.

¿Sería continua en 1? Sí porque no le permito que esté definida por debajo de 1 y en este extremo el límite por la derecha coincide. Por tanto, sería continua en (1,2) U {1} = [1,2).

¿Y si la considero la función parte entera definida en [0,+∞), sería continua en [1,2)? No, dejaría de ser continua en 1 y entonces sólo sería continua en (1,2).

Así que... ¡el dominio es muy importante!

Una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en los puntos que componen el extremo de dicho intervalo, si dichos puntos no forman parte del dominio de dicha función y por lo tanto no está definida en dicho punto (no es continua para esos valores de x) el intervalo debe ser abierto. Espero haberte ayudado a entenderlo un poco mejor :)