In einem Vollyballturnier treffen 2 gleich starke Mannschaften A und B auf einander. Ein Spiel gilt als gewonnen, wenn eine Mannschaft 3 Sätze zu ihren gunsten entschieden hat; ein spiel besteht aus mind 3 höchstens 5 sätzen. Aus wie vielen Sätzen wird ein solches spiel im Mittel.
Da hab ich gerechnet: Es gibt 12 spiele insgesamt und es gibt drei arten zu gewinnen in 3 sätzen 4 oder 5. für drei gibt es eine wahrscheinlichkeit von 2/12 für 4 6/12 und für 5 4/12. Dann hab ich den Erwartungswert benutzt: E(x)= (2/12)*3+(6/12)*4+5*(4/12)=4,16 ungefähr also aus 4 spielen
ist das richtig?
Update:@wurzelgnom ja aber das ist doch nur die wahrscheinlichkeit für das team A oder B in 3 sätzen zu gewinnen. ich dachte man muss berechen wie viele Sätze benötigt werde als Mittelwert und da sind ja noch andere sätze (4 und 5) dabei?
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Alles schon mal da gewesen. Ich zitiere Robert691
E(X)=P("3 Sätze")*3 + P("4 Sätze")*4 + P("5 Sätze")*5
Also: wie P("3 Sätze"), P("4 Sätze") und P("5 Sätze") finden?
2 Möglichkeiten:
a) Mithilfe eines Ereignisbaums
b) Mithilfe kombinatorischer Überlegung
Ich schlage vor, Variante a) zu nehmen.
Ich kann jetzt den Baum hier nicht hinzeichnen, spiele es bitte auf einem DIN A4-Blatt durch. Du erhältst
2 Äste, bei denen das Turnier nach 3 Spielen endet,
6 Äste, bei denen das Turnier nach 4 Spielen endet und
12 Äste, bei denen das Turnier nach 5 Spielen endet.
Denke dabei immer dran: nach drei Siegen einer Mannschaft endet der Ast.
Nun musst du noch die Wahrscheinlichkeit für jeden Ast angeben.
Das ist hier zum Glück nicht so schlimm, denn die W. für einen Sieg von A oder ist jeweils 0,5. Heißt:
Ein 3er-Ast hat die W. 0,5³ = 1/8
Ein 4er-Ast hat die W. 0,5⁴ = 1/16
Ein 5er-Ast hat die W. 0,5⁵ = 1/32
Nun musst du die Wahrscheinlichkeit für
alle 3er Äste addieren: zusammen 1/4
alle 4er Äste addieren: zusammen 3/8
alle 5er Äste addieren: zusammen 3/8
also
P("3 Sätze") = 1/4
P("4 Sätze") = 3/8
P("5 Sätze") = 3/8
Und in die Formel einsetzen:
E(X)=P("3 Sätze")*3 + P("4 Sätze")*4 + P("5 Sätze")*5
=1/4 * 3 + 3/8 * 4 + 3/8 *5
= 33/8
= 4 1/8
=4,125
Also, Chiara, ich probier's jetzt auch mal:
Für drei Sätze ergibt sich die Situation:
1. Satz:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/8 haben A oder B gewonnen.
Das wäre zusammen eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 (oder 25%)
In den anderen 75% ist das Spiel nicht entschieden, sie spielen weiter:
Wir könnten kriegen
[AABA]
[ABAA];
[ABBB]
[BBAB]
[BABB]
[BAAA]
Da kriege ich sechs Fälle zu je einer Wahrscheinlichkeit von1/2^4 = 1/16
Also: 6 * 1/16 = 3/8 (oder 37,5 %)
Dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist nur zu 75% wahrscheinlich,
([AAAA], [AAAB], [BBBA] und [BBBB] entfallen ja)
also
p = 3/4 * 3/8 = 9/32 = 28,12 %
In fünf Sätzen MUSS das Spiel entschieden sein, denn es gibt nur noch die Möglichkeit, dass in den ersten beiden vier Spielen jede Mannschaft zweimal gewonnen hat. Jetzt MUSS eine zum dritten Mal gewinnen.
Also bleibt die Restwahrscheinlichkeit:
1 -1/4 - 9/32 = 15/32 = 46,9%
Nach meinen Ãberlegungen käme ich also da hin, dass die gröÃte Wahrscheinlichkeit darin besteht, dass sie alle fünf Sätze spielen müssten.
(Das kommt mir inhaltlich auch am vernünftigsten vor, wenn beide gleich gut sind)
Ich würde meine Hand dafür aber nun auch nicht in jedes hergelaufene Feuer legen.
@Chiara
Ja,ja...
oller Mann iss ja keen D-Zug
Ich habe doch meine ersten Ãberlegungen schon mal ins Netz gestellt, während ich noch weiter gerechnet habe.
*grins*
Und SO schnell schieÃen selbst unsere PreuÃen nicht.
@Chiara
Und an Deiner Automaten-Aufgabe knabber ich bis heute.
Da hieà es ja nur, die Leute kommen im Verlauf dieser Zeit.
Was - wenn die nun alle in der letzten Minute da aufkreuzen????
Ãber das Problem grübele ich noch immer und frage mich, ob man da überhaupt ein gescheites Modell aufbauen kann.