Guten Tag, ich muss ein Jahr auf einen Studienplatz warten und will in der Übung bleiben. Da dachte ich mir warum nicht etwas selber lernen und weiterarbeiten. Ich habe nur Fachabi und da hörte es mit der Behandlung von Funktionen dritten Gerades auf. Ich habe mir dann einen Lehrplan des Gymnasiums angeguckt was danach kommt. DAs Newton Verfahren war das erste was ich gemacht habe. Jetzt kommen Exponentialfunktionen und die Ableiteregeln. Im Internet habe ich die absolut nicht verstanden und auch ein Mathebuch hilft nicht weiter.
Für meine Logik müsse die Regeln ja eigentlich so aussehen: f(x)=n^x wird zu f'(x)=xn^(x-1).
Aus der Darstellung bei Geogebra weiß ich aber, das da etwas nicht stimmen kann.
Im Internet tauchen immer nur Funktionen mit e und der Gegenfunktion ln auf. Hat das etwas damit zu tun?
Ich würde nächsten Sommer gerne Top vorbereitet sein, ich weiß das ich es mit meinem jetzigen Wissen schwer haben werde, also da bin ich mir schon bewusst :) Es gibt ja auch Vorkurse.
Wäre nett wenn das jemand kurz erklären kann, ich will es verstehen und nicht nur rechnen können.
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Hi, Sebastian,
Du hast ja hier nun schon drei Antworten, auf die Du bisher nicht geantwortet hast.
Könnte es sein, dass Du mit dem Begriff "e-funktion" selber überhaupt nichts anfangen kannst????
also: Zunächst mal ganz allgemein:
Unter einer Exponential-Funktion versteht man eine Funktion, wo in der Funktionsgleichung x im EXPONENTEN steht.
Also nicht x hoch i-was, sondern i-was hoch x
Als Basis nehmen wir in der Mathematik und Physik gerne e, die Eulersche Zahl, auch wenn einem das zunächst etwas komisch vorkommen möchte, da das eine irrationale Zahl ist, etwa 2,72
Aber wenn Du die Funktion y = f(x) = e^x zeichnest,
stellst Du etwas Lustiges fest:
An JEDER Stelle ist der Funktionswert genauso groß wie der Anstieg der Funktion.
Das macht diese Funktion so interessant, also
f(x) = e^x UND f '(x) = e^x UND f ''(x) = e^x usw.
Für jede positive Zahl a lässt sich ja nun schreiben
a = e^ln a
Damit ist a^x = (e^ln a)^x
Und das ist nach Potenzgesetzen
a^x = (e^ln a)^x = e^(x*ln a)
Jetzt leiten wir f mit
y = f(x) = a^x
ab und benutzen dazu die Kettenregel:
(a^x)' = [e^(x*ln a)]' = e^(x*ln a) * ln a
Und nun können wir wieder umformen:
e^(x*ln a) * ln a = (e^ln a)^x * ln a = a^x * ln a
du machst folgende Umformung
n^x = e^(ln(n^x)) = e^(x*ln(n))
Dann kannst Du nach der Kettenregel
f'(x) = ln(n) e^(x ln(n)) = ln(n) n^x
ausrechnen
Die Ableitregel für Potenzfunktionen lautet:
x^n -d/dx-> n*x^(n-1)
Das ist allerdings nicht mit einer Exponetialfunktion zu verwechseln:
a^x -d/dx-> ln(a)*a^x
Speziell für die e-Funktion gilt dabei:
e^x -d/dx-> e^x
Zu beachten ist auch immer das Nachdifferenzieren!
Beispiel:
e^(2x) -d/dx-> e^(2x) * 2
e^x² -d/dx-> e^x² * x
Begründung für die allgemeine Form einer Exponentialfunktion:
a^x = e^ln(a^x)
mit ln(a^x) = ln(a) * log[a](a^x)
a^x = e^( ln(a) * log[a](a^x) )
a^x = e^( ln(a) * x )
d/dx => e^( ln(a) * x ) * ln(a) = a^x * ln(a)
log[a]() bedeutet Logaritmus zur Basis a
Tipp:
Probiere mal Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/
Damit kannst du auch Gleichungen (auch allgemein) lösen und dir die Einzelschritte anzeigen lassen
Deine Regel gilt nur für Polynome, also Funktionen der Form x^n. Bei Exponentialfunktionen ist es komplizierter. Sie ergeben bei der Ableitung wieder eine Exponentialfunktion. Hat man zum Beispiel f(x) = e^x, dann ist f´(x) wieder e^x. Man sollte auch immer die Kettenregel beachten, wenn im Exponenten etwas komplizierteres steht als nur x.