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Hola

Gracias por haber intentado...

Partimos de la solución homogénea

y(x) = C1 sen(x) + C2 cos(x)

Entonces, sugerimos la solución

y(x) = (A x + B) cos(x) + (C x + D) sen(x)

Observamos que el término constante YA ES SOLUCIÓN homogénea

Por lo tanto, debemos multiplicar por "x"

y(x) = (A x^2 + B x) cos(x) + (C x^2 + D x) sen(x)

Ahora, derivamos

y' = ( 2 A x + B + C x^2 + D x ) cos(x) + (2 C x + D - A x^2 - B x) sen(x)

y' = ( C x^2 + (2 A + D) x + B ) cos(x) + (- A x^2 + (2 C - B) x + D) sen(x)

y'' = (2 C x + (2A + D) - A x^2 + (2 C - B) x + D) cos(x) +

+ (- 2 A x + (2 C - B) + ( - C x^2 + (-2A - D) x - B ) sen(x)

y'' = (- A x^2 + (4 C - B) x + (2A + 2D )) cos(x) +

+ ( - C x^2 + (-4 A - D) x + (2 C - 2B)) sen(x)

Ahora calculamos y'' + y

y'' + y = ( + (4 C) x + (2 A + 2 D )) cos(x) +

+ ( + (-4 A ) x + (2 C - 2 B)) sen(x)

Usamos que y'' + y = 2 x sen(x)

4 C = 0----------> C = 0

2 A + 2 D = 0 ----> D = -A

-4 A = 2----------> A = -1/2

2 C - 2 B = 0 ---> B = C

Entonces

A = -1/2 ; B = 0 ; C = 0 ; D = +1/2

Solución particular

yp = (-1/2) x^2 cos(x) + (1/2( x^2 sen(x)

Saludos