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Für jedes Vektorfeld f : R^3 -> R^3 gilt

div rot f = 0

mit den Differentialoperatoren Divergenz (div) und Rotation (rot).

In [1] steht dazu schlicht:

div rot f = nabla ( nabla x f ) = 0

formal wegen a ( a x b ) = 0.

Hier ist x das Kreuzprodukt der Vektoren und nabla = ( Dx , Dy , Dz ) mit den partiellen Ableitungen nach x = Dx, nach y = Dy, nach z = Dz.

Der Vektor ( a x b ) steht senkrecht auf a. Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht sind, ist 0. Also a ( a x b ) = 0. Weil der Nabla-Operator sich wie ein Vektor verhält, muss das auch für den Nabla-Operator gelten.

Anschaulicher finde ich den Weg über die Darstellung von div und rot in kartesischen Koordinaten.

Mit f = ( fx , fy , fz ) den Komponenten des Vektorfelds in kartesischer Darstellung.

rot f

Wechsel ins Nabla-Kalkül.

= ( Dx , Dy , Dz ) x ( fx , fy , fz )

Kreuzprodukt ausrechnen.

= ( Dz fy - Dy fz , Dx fz - Dz fx , Dy fx - Dx fy )

div rot f

Wechsel ins Nabla-Kalkül und rot f einsetzen.

= ( Dx , Dy , Dz ) ( Dz fy - Dy fz , Dx fz - Dz fx , Dy fx - Dx fy )

Skalarprodukt ausrechnen.

= Dx ( Dz fy - Dy fz ) + Dy ( Dx fz - Dz fx ) + Dz ( Dy fx - Dx fy )

Klammern auflösen.

= Dx Dz fy - Dx Dy fz + Dy Dx fz - Dy Dz fx + Dz Dy fx - Dz Dx fy

Sortieren nach den Funktionen fy, fz, fx.

= Dx Dz fy - Dz Dx fy - Dx Dy fz + Dy Dx fz - Dy Dz fx + Dz Dy fx

Vertauschen der Reihenfolge der partiellen Ableitungen.

= Dx Dz fy - Dx Dz fy - Dx Dy fz + Dx Dy fz - Dy Dz fx + Dy Dz fx

Die Paare sehen.

= ( Dx Dz fy - Dx Dz fy ) + ( - Dx Dy fz + Dx Dy fz ) + ( - Dy Dz fx + Dy Dz fx )

= 0 + 0 + 0

= 0

Mathematisch kritisch ist das Vertauschen der partiellen Ableitungen, zum Beispiel Dx Dy g = Dy Dx g.

Nach [1] muss dazu der Satz von Schwarz herangezogen werden. Ist die Funktion stetig und sind die ersten partiellen Ableitungen stetig, dann existieren die beiden zweiten partiellen Ableitungen und sind gleich. - Also für alle Vektorfelder mit denen ein "normaler Mensch" arbeitet.

Gezeigt wurde div rot f = 0 in kartesischen Koordinaten. Es bleibt die Frage, ob es damit für alle Koordinatensysteme gilt.

In [1] sind div und rot definiert über Volumenableitungen von Integralen über die Oberflächen. Diese Definitionen gehen ohne Koordinatensysteme. Sätze die Aussagen aus bestimmten Koordinatensystemdarstellungen mit allgemeiner Gültigkeit verbinden finde ich in [1] nicht.

Ich probier mal:

So ein Vektorfeld bedeutet ja, dass du jedem Punkt einen Vektor zuordnen kannst. Das bedeutet dann z.B. in einem Kräftefeld für jeden Punkt weißt du wie viel Kraft in welche Richtung wirkt. (Kraft = Länge des Vektors).

Der Operator div (= Divergenz) schmeißt davon vereinfacht gesagt die Richtung weg und sagt dir nur wie viel Kraft wirkt.

Der Operator rot (= Rotation) schmeißt davon (wieder stark vereinfacht) den Betrag weg und es bleibt nur die Richtung.

Wenn man beides hintereinander macht, dann bleibt, wie man sich leicht vorstellen kann, nicht viel übrig.

Disclaimer: Dies ist mathematisch extrem unpräzise und ich bin mir dessen auch bewußt. Er wollte es aber für "Dumme".

Hallo picus48,

eine gute Erklärung (mit Bildern u.s.w.) findet man auf Wikipedia.

Tschüß Tom