Eine Ziege auf einer quadratischen Weide?
Über folgender Aufgabe habe ich Stunden verbracht, ohne eine eindeutige Lösung gefunden zu haben. Wer kann helfen?
Auf dem Mittelpunkt einer Seite eines Rasen-Quadrates mit der Seitenlänge a = 10 m wird ein Pfahl eingeschlagen, an dem eine Schnur befestigt ist, an deren anderen Ende eine Ziege angebunden ist. Es ist die Länge der Schnur so zu bemessen, dass die Ziege genau die Hälfte des Rasen-Quadrates abgrasen kann.
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So eine ähnliche Frage gab es schon mal, also hier ein Link dazu:
http://matheplanet.com/default3.html?call=dl.php?i...
Ich hab 5,83 m ausgerechnet.
Das Seil muss ~1,166 mal so lang sein wie Hälfte der Seitenlänge des Quadrats.
Zeichne das Quadrat 1:100, also10x10 cm. Trage den Radius 5,828 (Runde ab auf 58,3 mm). Zieh zweimal den Radius bis Schnittpunkte Kreis Quadrat.
Pi*R²*arcsin(5/R)/180+5*Wurzel(R²-25)=50
Der Kreissektor gebildet von Kreisbogen und Radien hat die Fläche des Kreises im Verhältnis 360° zum Winkel arcsin(5:R)(das wird zweimal genommen, =>gekürzt=>180)
Die zwei Dreiecke ergeben ein Rechteck 5xWurzel(R²-5²)
Die Gleichung wird durch Iteration od. Versuch gelöst. Gruß, elara 30
Ich komme auf 6.91m.
So bin ich vorgegangen:
Die Fläche die das Schaf essen könnte (also den Ganzen Kreis) minus das RasenQuadrat (100 qm) = 50qm.
Also müsste der Kreis die Fläche von 150qm haben.
r = Wurzel aus (150qm / PI) = 6.91m
Hi, hier eine Lösungsskizze:
http://img406.imageshack.us/img406/6751/blobfc8.pn...
ich hoffe, man kann es erkennen.
Fläche vom Quadrat.
Hälfte darf Ziege abgrasen. Das ist ein Kreis.
Also Wurzel aus A/2 durch pi = Länge der Leine, das sind 4m
Nachsatz:
Bin jetzt auch auf die Lösung mit Kreissegment gekommen. Soll die blöde Ziege doch grasen, wo sie will. Die zerbricht sich auch nicht den Kopf.
10 m mal 10 m sind bekanntlich 100m^2
davon die hälfte sind 50m^2 und nun brauchst du nur noch den radius ausrechnen und du hast die länge der schnur
Die Aufgabe kenne ich auch - und hab sie nie lösen können. Vielleicht kommst du ja mit Hilfe dieser Seite zur Lösung:
http://www.math.tu-berlin.de/aktMath/site/themen_z...
@Mytilena: Deine Rechnung würde zutreffen, wenn der Pfahl in der Mitte der Wiese stehen würde - tut er aber nicht. Er steht in der Mitte einer Seite der Wiese.
@Ergebnis 5,64: Ist leider auch falsch. Bei nem Radius von 5,64 geht ja ein Stück des Kreises über die Wiese hinaus (weil Pfahl jeweils 5m von linker und rechter Seite entfernt) und somit ist der Teil des Kreises, der sich auf der Wiese befindet keine 50m^2 mehr groß.
Die Denkansätze hatte ich auch, nur zur Beruhigung. Mein Link zeigt auch, warum ich das nicht lösen kann - ist mir irgendwie zu hoch. *g*
Also am einfachsten stellt man eine Gleichung auf:
halber Flächeninhalt Wiese = Flächeninhalt eines Halbkreises
10 * 10 : 2 = r² * Pi : 2 ..................| *2
...100 ...... = r² * Pi ......................| : Pi
... 100 : Pi = r² . . ........................| Quadratwurzel
.........r .....= .Wurzel (100 : Pi)
.........r .....~ .5,64m
Also müsste das Seil um den Pfahl ungefähr 5,64 Meter lang sein, damit die Ziege nur die Hälfte der Wiese abgrasen kann.
P.S.: Die Punkte haben nichts zu bedeuten, sie dienen nur dazu das Ganze übersichtlicher zu machen.
Größe des Rasens 100 m² (a²)
- Größe eines Halbkreises 50 m²
Formel für einen Halbkreis
A=(Pi x r²) :2
ergibt eine Leinen Länge von 5,641m
Nachtrag okay saphira1... hat zum Teil recht nur das die Leine dann noch länger sein muss da dem Halbkreis an beiden Seiten ein Kreisteilstück fehlt und ohne die Stücke ist die gesammt Fläche zu klein ist.
Dann Rate ich jetzt. 6 m sollten passen.